Задания ЕГЭ по математике: Задачи по планиметрии

В тупоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) тупой. Точка \(P\) лежит вне треугольника \(ABC\). \(BP\) и \(CP\) — перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\) соответственно, причём \(CP\) пересекает сторону \(AB\). Высота \(CH\) треугольника \(ACP\) пересекает отрезок \(AB\) в точке \(K\).
а) Докажите, что острые углы \(ABC\) и \(ACH\) равны.
б) Найдите длину стороны \(AC\), если \(AK=6\), \(BK=18\).

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) прямоугольного треугольника \(ABC\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\), гипотенузу \(AB\) — в точке \(M\).
а) Докажите, что треугольники \(AKM\) и \(ABC\) подобны.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(CKMB\), если радиус окружности равен \(2\sqrt{10}\), катеты \(AC\) и \(BC\) равны \(16\) и \(4\) соответственно.

Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). Окружность с центром \(O\) на основании \(BC\) касается боковых сторон \(AB\) и \(AC\). Касательная к этой окружности пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.
а) Докажите, что отрезки \(OM\) и \(ON\) разбивают четырёхугольник \(BMNC\) на три подобных треугольника.
б) Найдите длину отрезка \(AM\), если треугольник \(ABC\) равносторонний, \(AB=20\) и \(AN:NC=2:3\).

Высоты \(BH\) и \(DN\) параллелограмма \(ABCD\), проведённые к его сторонам \(CD\) и \(BC\) соответственно, пересекаются в точке \(M\). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(CN:NB=CH:HD=1:2\).
а) Докажите, что точки \(A\), \(O\) и \(M\) лежат на одной прямой.
б) Найдите длину диагонали \(AC\), если известно, что \(DN=4\).

Дан треугольник \(ABC\). На его стороне \(AC\) как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Известно, что \(M\) — середина \(AB\), а \(H\) — точка пересечения высот треугольника \(ABC\).
а) Докажите, что \(KH:HA=\cos\angle BCA\).
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(AHC\), если \(AK=9\), \(\cos\angle BCA=0{,}8\).

Дан треугольник \(ABC\), на стороне \(BC\) которого взята точка \(E\) так, что \(BE=AB\), а на стороне \(AC\) взята точка \(D\) так, что \(AD=DE\). На стороне \(AC\) также взята точка \(F\) так, что \(EF \parallel BD\).
а) Докажите, что \(CF\cdot AB=AD\cdot CE\).
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если известно, что \(\angle AED=\angle CEF=30^\circ\) и \(CL=6\), где \(L\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(ED\).

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\).
б) Вычислите длину стороны \(BC\) и радиус данной окружности, если \(\angle A=45^\circ\), \(B_1C_1=6\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в восемь раз меньше площади четырехугольника \(BCB_1C_1\).

Точки \(P\), \(Q\), \(W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4\), радиус окружности, описанной около треугольника \(PQW\), равен \(10\), \(PQ = 16\), \(QW = 12\), угол \(PWQ\) — острый.
а) Докажите, что треугольник \(PQW\) — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).

Диагонали равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны. Окружность с диаметром \(AD\) пересекает боковую сторону \(CD\) в точке \(M\), а окружность с диаметром \(CD\) пересекает основание \(AD\) в точке \(N\). Отрезки \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(P\).
а) Докажите, что в четырёхугольник \(ABCP\) можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если \(BC=7\), \(AD=17\).

Дан треугольник \(ABC\). Серединный перпендикуляр к стороне \(AB\) пересекается с биссектрисой угла \(BAC\) в точке \(K\), лежащей на стороне \(BC\).
а) Докажите, что \(AC^2 = BC \cdot CK\).
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(AKB\), если \(\cos \angle B = \frac{2}{3}\), \(AC = 36\), а площадь треугольника \(AKC\) равна \(126\sqrt{5}\).

Прямая, проходящая через вершину \(B\) прямоугольника \(ABCD\) перпендикулярно диагонали \(AC\), пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\), равноудалённой от вершин \(B\) и \(D\).
а) Докажите, что \(\angle ABM=\angle DBC=30^\circ\).
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой \(CM\), если \(BC=9\).

Параллелограмм \(ABCD\) и окружность расположены так, что сторона \(AB\) касается окружности, \(CD\) является хордой, а стороны \(DA\) и \(BC\) пересекают окружность в точках \(P\) и \(Q\) соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника \(ABQP\) можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка \(DQ\), если известно, что \(AP=a\), \(BC=b\), \(BQ=c\).

Прямая, проходящая через середину \(M\) гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\), перпендикулярна \(CM\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\). При этом \(AK : KC = 1 : 2\).
а) Докажите, что \(\angle BAC = 30^\circ\)
б) Пусть прямые \(MK\) и \(BC\) пересекаются в точке \(P\), а прямые \(AP\) и \(BK\) — точке \(Q\). Найдите \(KQ\), если \(BC = 2\sqrt{3}\).

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(P\).
а) Докажите, что \(\angle POC=\angle PCO\).
б) Найдите площадь треугольника \(APC\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(8\), а \(\angle ABC=60^\circ\).

В остроугольном треугольнике \(ABC\) \(\angle A=60^\circ\). Высоты \(BN\) и \(CM\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Точка \(O\) — центр окружности, описанной около \(\triangle ABC\).
а) Докажите, что \(AH=AO\).
б) Найдите площадь \(\triangle AHO\), если \(BC=6\sqrt3\), \(\angle ABC=45^\circ\).