Задания ЕГЭ по математике: Задачи по планиметрии

В треугольнике \(ABC\) проведены высота \(AH\) и медиана \(AM\), угол \(ACB\) равен \(30^\circ\). Точка \(H\) лежит на отрезке \(BM\). В треугольнике \(ACM\) проведена высота \(MQ\). Прямые \(MQ\) и \(AH\) пересекаются в точке \(F\). Известно, что \(AM\) — биссектриса угла \(HAC\).

а) Докажите, что треугольник \(ABC\) — прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника \(CFM\), если \(AB = 10\).

В треугольнике \(ABC\) угол \(ABC\) равен \(60^\circ\). Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны \(AC\) в точке \(M\).
а) Докажите, что отрезок \(BM\) не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите \(\sin\angle BMC\), если известно, что отрезок \(BM\) в \(2{,}8\) раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике \(ABC\) на продолжение боковой стороны \(BC\) опущена высота \(AH\). Из точки \(H\) на сторону \(AB\) и основание \(AC\) опущены перпендикуляры \(HK\) и \(HM\) соответственно.
а) Докажите, что отрезки \(AM\) и \(MK\) равны.
б) Найдите \(MK\), если \(AB = 13\), \(AC = 24\).

В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AP\) и \(CQ\).
а) Докажите, что угол \(PAC\) равен углу \(PQC\).

В треугольник \(ABC\) вписана окружность радиуса \(R\), касающаяся стороны \(AC\) в точке \(D\), причём \(AD = R\).
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.

В четырёхугольнике \(ABCD\) противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\) под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка \(O\).
а) Докажите, что около четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если \(AC=10\), \(BD=26\).

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. 

а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. 

б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 10 и AB = 24.

В тупоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) тупой. Точка \(P\) лежит вне треугольника \(ABC\). \(BP\) и \(CP\) — перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\) соответственно, причём \(CP\) пересекает сторону \(AB\). Высота \(CH\) треугольника \(ACP\) пересекает отрезок \(AB\) в точке \(K\).
а) Докажите, что острые углы \(ABC\) и \(ACH\) равны.
б) Найдите длину стороны \(AC\), если \(AK=6\), \(BK=18\).

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) прямоугольного треугольника \(ABC\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\), гипотенузу \(AB\) — в точке \(M\).
а) Докажите, что треугольники \(AKM\) и \(ABC\) подобны.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(CKMB\), если радиус окружности равен \(2\sqrt{10}\), катеты \(AC\) и \(BC\) равны \(16\) и \(4\) соответственно.

Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). Окружность с центром \(O\) на основании \(BC\) касается боковых сторон \(AB\) и \(AC\). Касательная к этой окружности пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.
а) Докажите, что отрезки \(OM\) и \(ON\) разбивают четырёхугольник \(BMNC\) на три подобных треугольника.
б) Найдите длину отрезка \(AM\), если треугольник \(ABC\) равносторонний, \(AB=20\) и \(AN:NC=2:3\).

Высоты \(BH\) и \(DN\) параллелограмма \(ABCD\), проведённые к его сторонам \(CD\) и \(BC\) соответственно, пересекаются в точке \(M\). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(CN:NB=CH:HD=1:2\).
а) Докажите, что точки \(A\), \(O\) и \(M\) лежат на одной прямой.
б) Найдите длину диагонали \(AC\), если известно, что \(DN=4\).

Дан треугольник \(ABC\). На его стороне \(AC\) как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Известно, что \(M\) — середина \(AB\), а \(H\) — точка пересечения высот треугольника \(ABC\).
а) Докажите, что \(KH:HA=\cos\angle BCA\).
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(AHC\), если \(AK=9\), \(\cos\angle BCA=0{,}8\).

Дан треугольник \(ABC\), на стороне \(BC\) которого взята точка \(E\) так, что \(BE=AB\), а на стороне \(AC\) взята точка \(D\) так, что \(AD=DE\). На стороне \(AC\) также взята точка \(F\) так, что \(EF \parallel BD\).
а) Докажите, что \(CF\cdot AB=AD\cdot CE\).
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если известно, что \(\angle AED=\angle CEF=30^\circ\) и \(CL=6\), где \(L\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(ED\).

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\).
б) Вычислите длину стороны \(BC\) и радиус данной окружности, если \(\angle A=45^\circ\), \(B_1C_1=6\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в восемь раз меньше площади четырехугольника \(BCB_1C_1\).

Точки \(P\), \(Q\), \(W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4\), радиус окружности, описанной около треугольника \(PQW\), равен \(10\), \(PQ = 16\), \(QW = 12\), угол \(PWQ\) — острый.
а) Докажите, что треугольник \(PQW\) — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).