Заметим, что

$4^{x^2 + 2x - 5} = (2^2)^{x^2 + 2x - 5} = (2^{x^2 + 2x - 5})^2.$

Пусть

$t = 2^{x^2 + 2x - 5}, \ t> 0$

Тогда неравенство примет вид:

$4t^2 - 33t + 8 \geq 0.$

Найдём корни уравнения $4t^2 - 33t + 8 = 0$ :

$D = (-33)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 8 = 1089 - 128 = 961 = 31^2,$

$t_{12} = \frac{33 \pm 31}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}, 8$

Сделаем обратную замену:

$\left[ \begin{array}{l} 2^{x^2+2x-5}=\frac{1}{4}\\ 2^{x^2+2x-5}=8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{x^2+2x-5}=2^{-2}\\ 2^{x^2+2x-5}=2^3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2+2x-5=-2 \quad (1)\\ x^2+2x-5=3 \quad (2) \end{array} \right.$

Решим (1)

$x^2 + 2x - 5 = -2$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x+3)(x-1) = 0$

Решим (2)

$x^2 + 2x - 5 = 3$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

$(x+4)(x-2) = 0$

Перейдем к неравенству:

$(x+3)(x-1)(x+4)(x-2) \geq 0$

Воспользуемя метордом интервалов

Все точки вколоты, тогда можем писать ответ

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-3, 1] \cup [2, +\infty)$

Задание №37570 ЕГЭ по Математике