$125^x-25^x+\dfrac{4\cdot25^x-20}{5^x-5}\le4.$

Пусть $5^x=t$ . Тогда неравенство примет вид:

$t^3-t^2+\dfrac{4t^2-20}{t-5}\le4 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{t^4-5t^3-t^3+5t^2+4t^2-20-4t+20}{t-5}\le0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{t^4-6t^3+9t^2-4t}{t-5}\le0.$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:
$\; t=0,\; t^3-6t^2+9t-4=0.$

Кандидатами в целые корни полученного уравнения четвёртой степени являются делители свободного члена, равного $-4$ , то есть: $\pm1;\; \pm2;\; \pm4.$

Подходит $t=1$ . Разделим многочлен $t^3-6t^2+9t-4$ на многочлен $t-1$ :

Следовательно, многочлен $\; t^3-6t^2+9t-4 \;$ раскладывается на множители $\; (t-1)(t^2-5t+4). \;$ Тогда:

$(t - 1)(t^2 - 5t + 4) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} t - 1 = 0,\\ t^2 - 5t + 4 = 0 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} t = 1,\\ t = 1,\\ t = 4. \end{aligned} \right.$

Найдём нули знаменателя: $t=5.$

$\left[ \begin{aligned} t \le 0,\\ t = 1,\\ 4 \le t < 5 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} 5^x \le 0,\\ 5^x = 5^0,\\ 5^{\log_5 4} \le 5^x < 5^1 \end{aligned} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{aligned} x \notin R,\\ x = 0,\\ \log_5 4 \le x < 1 \end{aligned} \right.$

Таким образом, решением исходного неравенства является: $x\in\{0\}\cup[\log_5 4;\;1).$

Ответ: $\{0\}\cup[\log_5 4;\;1).$

Задание №29393 ЕГЭ по Математике