Упростим левую часть неравенства

Кубический корень можно записать как степень с показателем $\frac{1}{3}$ :

$\sqrt[3]{8^{5x+3}} = \left(8^{5x+3}\right)^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{5x+3}{3}} = \left(2^3\right)^{\frac{5x+3}{3}} = 2^{5x+3}$

Упростим правую часть неравенства.

Квадратный корень можно записать как степень с показателем $\frac{1}{2}$ :

$\sqrt{\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{2x+1}{x}}} = \left(\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{2x+1}{x}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{2x+1}{2x}} = \left(2^{-4}\right)^{\frac{2x+1}{2x}} = 2^{-4 \cdot \frac{2x+1}{2x}} = 2^{-2 \cdot \frac{2x+1}{x}} = 2^{-\frac{4x+2}{x}}$

Теперь неравенство принимает вид:

$2^{5x+3} < 2^{-\frac{4x+2}{x}}.$

Так как основание степени $2 > 1$ , функция $2^t$ является возрастающей. Поэтому неравенство между степенями эквивалентно неравенству между их показателями:

$5x + 3 < -\frac{4x + 2}{x}.$

Перенесём все члены в одну сторону:

$5x + 3 + \frac{4x + 2}{x} < 0.$

Приведём к общему знаменателю $x$ :

$\frac{(5x + 3)x + (4x + 2)}{x} < 0,$

$\frac{5x^2 + 3x + 4x + 2}{x} < 0,$

$\frac{5x^2 + 7x + 2}{x} < 0.$

Разложим числитель на множители

Решим квадратное уравнение $5x^2 + 7x + 2 = 0$ :

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9,$

$x_{12} = \frac{-7 \pm 3}{10} = -1; -\frac{2}{5}$

Таким образом, yеравенство принимает вид:

$\frac{5(x + 1)(5x + 2)}{x} < 0$

Коэффициент 5 положителен и на знак неравенства не влияет, его можно отбросить:

$\frac{(x + 1)(5x + 2)}{x} < 0$

Воспользуемся методом интервалов:

Все точки выколоты, тогда можем писать ответ

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-0{,}4; 0)$

Задание №37556 ЕГЭ по Математике