$8^x-3\cdot 4^x+\frac{9\cdot 4^x-288}{2^x-9}\le 32.$

$\text{Пусть } 2^x=t. \text{ Тогда неравенство примет вид:}$

$t^3-3t^2+\frac{9t^2-288}{t-9}\le 32 \iff \frac{t^4-9t^3-3t^3+27t^2+9t^2-288-32t+288}{t-9}\le 0 \iff$ $\iff \frac{t^4-12t^3+36t^2-32t}{t-9}\le 0 \iff \frac{t\,(t^3-12t^2+36t-32)}{t-9}\le 0.$

$\text{Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:}$

$t=0,\quad t^3-12t^2+36t-32=0.$

$\text{Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного } -32,$
$\text{ то есть: } \pm1;\ \pm2;\ \pm4;\ \pm8;\ \pm16;\ \pm32.$

$\text{Подходит } t=2. \text{ Разделим многочлен } t^3-12t^2+36t-32 \text{ на многочлен } t-2:$

$\text{Следовательно, многочлен } t^3-12t^2+36t-32 \text{ раскладывается на множители } (t^2-10t+16)(t-2).$

$\text{Тогда:}$

$(t-2)(t^2-10t+16)=0 \iff \left[ \begin{aligned} &t-2=0,\\ &t^2-10t+16=0 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &t=2,\\ &t=2,\\ &t=8. \end{aligned} \right.$

$\text{Найдём нули знаменателя: } t=9.$

$\text{Решим полученное неравенство методом интервалов:}$

$\left[ \begin{aligned} &t\le 0,\\ &t=2,\\ &8\le t<9 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &2^x\le 0,\\ &2^x=2^1,\\ &2^3\le 2^x<2^{\log_2 9} \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &x\notin\mathbb{R},\\ &x=1,\\ &3\le x<\log_2 9 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &x=1,\\ &3\le x<\log_2 9. \end{aligned} \right.$

$\text{Таким образом, решением исходного неравенства является: } x\in\{1\}\cup[3;\log_2 9).$

$\textbf{Ответ: } \{1\}\cup[3;\log_2 9).$

Задание №30106 ЕГЭ по Математике