Задания ЕГЭ по математике: Задачи по стереометрии

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AB\). Через вершины \(A_1\), \(C_1\) и середину ребра \(AB\) проведена плоскость \(\alpha\).
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \(\alpha\) будет прямоугольная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если высота призмы равна \(12\), \(AB=10\sqrt{2}\).

Дана пирамида \(ABCD\) с прямоугольным треугольником \(ABC\) в основании. Вокруг пирамиды описан конус.
а) Докажите, что вершина конуса проецируется в середину одной из сторон треугольника основания.
б) Известно, что объем конуса равен \(V_k=392\pi\), а треугольник в основании является равнобедренным. Найдите объем пирамиды.

В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит параллелограмм \(ABCD\) с углом \(60^\circ\) при вершине \(A\). На ребрах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\), \(K\) и \(N\) соответственно так, что \(AMKN\) — равнобедренная трапеция с основаниями \(3\) и \(6\). Известно, что точка \(K\) делит ребро \(B_1C_1\) в отношении \(3:4\), считая от вершины \(B_1\).
а) Докажите, что \(A_1M=MB_1=B_1K\).
б) Найдите высоту призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), если её объем равен \(7\).

В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB\) равна \(2\sqrt{3}\), а боковое ребро \(AA_1\) равно \(3\). На ребрах \(A_1D_1\) и \(DD_1\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(M\) так, что \(A_1K=KD_1\), \(DM:MD_1=2:1\).
а) Докажите, что прямые \(MK\) и \(BK\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями \((BMK)\) и \((BCC_1)\).

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). \(M\) – точка пересечения диагоналей грани \(AA_1B_1B\), \(N\) – точка пересечения диагоналей грани \(BB_1C_1C\), а \(K\) – середина ребра \(CD\).
а) Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью \(MNK\) – пятиугольник.
б) Найти отношение длин отрезков, на которые делит плоскость \(MNK\) ребро \(BB_1\), если \(AB=BC=\frac{\sqrt2}{2}AA_1\).

В правильной четырёхугольной пирамиде \(PABCD\) сторона основания \(ABCD\) равна \(12\), а боковое ребро \(PA\) равно \(12\sqrt2\). Через вершину \(A\) проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная прямой \(PC\) и пересекающая ребро \(PC\) в точке \(K\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит высоту \(PH\) пирамиды \(PABCD\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(P\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(PH\) и \(BK\).

Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Диагонали боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) равны \(26\) и \(10\) соответственно, \(AB=25\).
а) Докажите, что \(\triangle BA_1C_1\) — прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды \(AA_1C_1B\).

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(K\) — середина ребра \(B_1C_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\), \(K\) и \(D\).
а) Докажите, что сечением куба плоскостью \(\alpha\) является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки \(C_1\) до плоскости \(\alpha\), если ребро куба равно \(3\).

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) отметили точки \(M\) и \(K\) на ребрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) соответственно. Известно, что \(AM=3MA_1\), \(A_1K=KB_1\). Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно грани \(ABB_1A_1\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_1\).
б) Найдите расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(\alpha\), если все ребра призмы равны \(16\).

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\), \(K\) и \(C\).
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \(\alpha\) является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости сечения, если все ребра призмы равны \(4\).

На ребрах \(BC\), \(AB\) и \(AD\) правильного тетраэдра \(ABCD\) отмечены точки \(L\), \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(AM:MB=BL:LC=AN:ND=1:2\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\), проходящая через точки \(L\), \(M\) и \(N\), делит ребро \(CD\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(C\).
б) Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если \(AB=6\).

Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости основания \(ABCD\) правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) и пересекает ребро \(SA\) в точке \(K\). Сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) является правильным треугольником площадью \(2\sqrt3\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(AC\).
б) В каком отношении точка \(K\) делит ребро \(SA\), считая от точки \(S\), если объём пирамиды равен \(36\sqrt6\)?

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) точка \(O\) — центр основания \(ABCD\). Точка \(N\) делит ребро \(SD\) в отношении \(SN:ND=1:2\).
Плоскость \(\alpha\), проходящая через точки \(O\) и \(N\) и параллельная ребру \(SA\), пересекает ребро \(SC\) в точке \(M\). Известно, что \(SA=AB=6\).
а) Докажите, что точка \(M\) — середина \(SC\).
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость \(\alpha\) пересечёт грань \(BSC\).

Основанием прямой четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадрат \(ABCD\) со стороной \(3\sqrt2\), высота призмы равна \(2\sqrt7\). Точка \(K\) — середина ребра \(BB_1\). Через точки \(K\) и \(C_1\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная прямой \(BD_1\).
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \(\alpha\) является равнобедренный треугольник.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью \(\alpha\).

В правильном тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины ребер \(AB\) и \(CD\) соответственно.
а) Докажите, что прямая \(MN\) перпендикулярна ребрам \(AB\) и \(CD\).
б) Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(MN\) и пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\). Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если известно, что \(BK=1\), \(KC=5\).