Задания ЕГЭ по математике: Задачи, сводящиеся к решению неравенств

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы \(T=T_0+bt+at^2\), где \(t\) — время в минутах, \(T_0=828\) К, \(a=-7\) К/мин², \(b=140\) К/мин. При температуре нагревательного элемента \(1500\) К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h=1,4+9t-5t^2\), где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее \(3\) метров?

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0=188\) Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка вычисляется по формуле \(f=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\), где \(c\) — скорость звука, \(v\) — скорость тепловоза. Человек различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на \(12\) Гц. Определите наименьшую скорость приближения тепловоза, если \(c=300\) м/с.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет \(R_1=21\) Ом. Параллельно с ней подключают тостер, сопротивление которого \(R_2\) Ом. При параллельном соединении общее сопротивление вычисляется по формуле \(R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\). Для нормального функционирования электропроводки общее сопротивление должно быть не меньше \(18\) Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление тостера.

Сила тока \(I\) в электросети вычисляется по закону Ома \(I=\frac{U}{R}\), где \(U\) — напряжение в вольтах, \(R\) — сопротивление в омах. Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает \(8,8\) А. Определите наименьшее сопротивление электроприбора, подключённого к сети с напряжением \(220\) В, при котором электросеть продолжит работать.

Автомобиль, масса которого равна \(m = 2160\) кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение \(t\) секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь \(S = 500\) метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(F = \frac{2mS}{t^2}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила \(F\), приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v(t) = 6 \sin \frac{\pi t}{3}\) (см/с), где \(t\) — время в секундах. Какую долю времени (в секундах) из первых 3 секунд скорость движения превышала 3 см/с?

Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0,5\) м\(^2\) находится в магнитном поле. ЭДС индукции (в вольтах) определяется формулой \(\varepsilon_i = aS \cos \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между полем и перпендикуляром к контуру, \(a = 2 \cdot 10^{-4}\) Тл/с — постоянная. При каком минимальном угле \(\alpha\) (в градусах) ЭДС не будет превышать \(5 \cdot 10^{-5}\) В?

Катер должен пересечь реку шириной \(L = 200\) м и со скоростью течения \(u = 1\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Время в пути (в секундах) определяется выражением \(t = \frac{L}{u} \text{ctg} \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между направлением движения катера и берегом. Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = U_0 \cos(\omega t + \varphi)\), где \(t\) — время в секундах, амплитуда \(U_0 = 4\) В, частота \(\omega = 120^\circ/\text{с}\), фаза \(\varphi = -30^\circ\). Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 2 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0,4\) м\(^2\) находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \(\varepsilon_i = aS \cos \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a = 5 \cdot 10^{-4}\) Тл/с — постоянная, \(S\) — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м\(^2\)). При каком минимальном угле \(\alpha\) (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать \(10^{-4}\) В?

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v(t) = 4 \sin \pi t\) (см/с), где \(t\) — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала \(2\) см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Груз массой 0,02 кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону \(v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T}\), где \(t\) — время с момента начала колебаний, \(T = 8\) с — период колебаний, \(v_0 = 0,6\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{mv^2}{2}\), где \(m\) — масса груза в килограммах, \(v\) — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Катер должен пересечь реку шириной \(L = 150\) м и со скоростью течения \(u = 0,5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u} \text{ctg} \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 300 с?

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Н\(\cdot\)м), определяется формулой \(M = NIBl^2 \sin \alpha\), где \(I = 4\) А — сила тока в рамке, \(B = 2 \cdot 10^{-3}\) Тл — значение индукции магнитного поля, \(l = 0,4\) м — размер рамки, \(N = 2500\) — число витков провода в рамке, \(\alpha\) — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент \(M\) был не меньше 1,6 Н\(\cdot\)м?