Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи, сводящиеся к решению неравенств

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0=190\) Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f(v)=\dfrac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\) (Гц), где \(c\) — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на \(10\) Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c=300\) м/с. Ответ выразите в м/с.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время \(t\) падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h = 5 t^2\), где \(h\) — расстояние в метрах, \(t\) — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло \(1{,}2\) c. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на \(0{,}2\) c? Ответ выразите в метрах.

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом \(q = 2{,}5 \cdot 10^{-6}\) Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 4 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол α с направлением движения шарика. Значение индукции поля \(B = 5 \cdot 10^{-3}\) Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца \(F_{Л} = q v B \sin \alpha\) (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла α ∈ \([0^{\circ}; 180^{\circ}]\) шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее \(5 \cdot 10^{-8} Н?\) Ответ дайте в градусах.

Катер должен пересечь реку шириной L = 49 м и со скоростью течения \(u = 0{,}7\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \dfrac{L}{u}\,\operatorname{ctg}\alpha\) , где α — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом α (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 70 с?

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью \(v = 3{,}6\) м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \dfrac{m}{m+M}\, v \cos \alpha\) (м/с), где m = 70 кг — масса скейтбордиста со скейтом, M = 350 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем \(до\ 0{,}3\ м/с?\)

Трактор тащит сани с силой F = 40 кН, направленной под острым углом α к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 200 м вычисляется по формуле \(A = F S \cos \alpha.\) При каком максимальном угле α (в градусах) совершённая работа будет не менее 4000 кДж?

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле \(F_{A} = \alpha \rho g r^{3},\) где \(\alpha = 4{,}2\) — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, \(\rho = 1000 кг/м³\)  — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 Н/кг).

Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем \(2\,491\,398 Н\)? Ответ выразите в метрах.

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой \(m_{в}\) (в килограммах) от температуры \(t_{1}\) до температуры \(t_{2}\) (в градусах Цельсия), к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массой \(m_{дров}\) кг. Он определяется формулой \(\eta = \dfrac{c_{в} m_{в} (t_{2} - t_{1})}{q_{дров} \, m_{дров}} \cdot 100\%\),
где \(c_{в} = 4{,}2 \cdot 10^{3}\) Дж/(кг·градус) — теплоёмкость воды, \(q_{дров} = 8{,}3 \cdot 10^{6}\) Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m = 166 кг воды от 10 до \(100^{\circ}C\) , если известно, что КПД кормозапарника не больше 14\%. Ответ выразите в килограммах.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 1400 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l = 14 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой \(p = \dfrac{m g}{2 l s}\) , где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 250 кПа. Ответ выразите в метрах.

К источнику с ЭДС \(\varepsilon = 75\) В и внутренним сопротивлением \(r = 0{,}4\ Ом\) хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой \(U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}.\) 

При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 60 В? Ответ выразите в омах.

Автомобиль, масса которого равна m  =  1500 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь S  =  600 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю (тяги двигателя), равно \(F = \dfrac{2 m S}{t^{2}}.\)

Определите время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, равна 2000 Н. Ответ выразите в секундах.

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящийся повернуть рамку (в Н·м), определяется формулой \(M = N I B l^{2} \sin \alpha,\)где \(I = 4 А\) — сила тока в рамке, \(B = 3 \cdot 10^{-3}\) Тл — значение индукции магнитного поля, \(l = 0,3 м\) — размер рамки, \(N = 2500\) — число витков провода в рамке, \(\alpha\) — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. 

При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент \(M\) был не меньше \(1{,}35\ Н·м?\)

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч\(^2\). Скорость v вычисляется по формуле v = \(\sqrt{2la}\), где l — пройденный
автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 110 км/ч. Ответ дайте в км/ч\(^2\)

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет \(R_1=90\) Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление \(R_2\) этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями \(R_1\) Ом и \(R_2\) Ом их общее сопротивление дается формулой \(R_{\textrm{общ}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t)=1+11t-5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?