1. Найдём ОДЗ.

Знаменатель должен быть отличен от нуля:
\(x^2 - 1 \ne 0\), \(2^x - 2^{4-x} \ne 0\).

Из первого условия \(x \ne -1\), \(x \ne 1\).

Поскольку показательная функция с основанием 2 возрастает, равенство \(2^x = 2^{4-x}\) выполняется только при \(x = 4 - x\), то есть при \(x = 2\).

Итак, ОДЗ: \(x \ne -1\), \(x \ne 1\), \(x \ne 2\).

2. Подготовим выражение к рационализации.

Вынесем в числителе положительный множитель:
\(8^x - 5 \cdot 2^x = 2^x(4^x - 5)\).

Поскольку \(2^x > 0\), разделим обе части неравенства на него:
\(\frac{4^x - 5}{(x - 1)(x + 1)(2^x - 2^{4-x})} \ge 0\).

Представим \(5 = 4^{\log_4 5}\):
\(\frac{4^x - 4^{\log_4 5}}{(x - 1)(x + 1)(2^x - 2^{4-x})} \ge 0\).

3. Применим метод рационализации.

Разность \(a^u - a^v\) имеет тот же знак, что и \((a - 1)(u - v)\), и одновременно с ним обращается в нуль.

Поэтому заменим показательные разности соответствующими выражениями:
\(\frac{(4 - 1)(x - \log_4 5)}{(x - 1)(x + 1)(2 - 1)(x - (4 - x))} \ge 0\).

Уберём положительные числовые множители:
\(\frac{x - \log_4 5}{(x - 1)(x + 1)(x - 2)} \ge 0\).

4. Решим полученное неравенство методом интервалов.

Так как \(4 < 5 < 16\), то \(1 < \log_4 5 < 2\). Поэтому отмечаем точки в порядке:
\(-1 < 1 < \log_4 5 < 2\).

Знаки дроби на последовательных промежутках: плюс, минус, плюс, минус, плюс.

Выбираем промежутки с положительным знаком и включаем нуль числителя. Нули знаменателя исключаем.

Ответ: \((-\infty; -1) \cup (1; \log_4 5] \cup (2; +\infty)\).

Задание №52765 ЕГЭ по Математике