$\circledast\begin{cases}x>0\\x\neq1\\\frac{x^2-2x}{2x-1}>0\\\log_2\frac{x^2-2x}{2x-1}>0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\x\neq1\\x\in\left(0;\frac{1}{2}\right)\cup\left(2;+\infty\right)\\x\in\left(2-\sqrt{3};\frac{1}{2}\right)\cup\left(2+\sqrt{3};+\infty\right)\end{cases}\Leftrightarrow x\in\left(0;2-\sqrt{3}\right)\cup\left(2-\sqrt{3};\frac12\right)\cup\left(2+\sqrt{3};+\infty\right)$

$\left(\frac12\right)^{\log_x\log_2\frac{x^2-2x}{2x-1}}-\left(\frac12\right)^0\leq0$

Применим метод рационализации для показательных функций:

$\left(\frac{1}{2}-1\right)\log_x\log_2\frac{x^2-2x}{2x-1}\leq0\Big|:\left(\frac{1}{2}-1\right)<0\Leftrightarrow\log_x\log_2\frac{x^2-2x}{2x-1}\geq0\Leftrightarrow \log_x\log_2\frac{x^2-2x}{2x-1}-\log_x1\geq0$

Применим метод рационализации для логарифмов с основанием $x$ :

$\left(x-1\right)\left(\log_2\frac{x^2-2x}{2x-1}-1\right)\geq0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\log_2\frac{x^2-2x}{2x-1}-\log_22\right)\geq0$

Применим метод рационализации для логарифмов с основанием $2$ :

$\left(x-1\right)\left(2-1\right)\left(\frac{x^2-2x}{2x-1}-2\right)\geq0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\frac{x^2-2x-4x+2}{2x-1}\geq0\Leftrightarrow \frac{\left(x-1\right)\left(x^2-6x+2\right)}{2x-1}\geq0$

Найдем нули числителя: $\left[\begin{matrix}x-1=0\\x^2-6x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x_{1;2}=3\pm\sqrt{7}\end{matrix}\right.$

Найдем нули знаменателя: $x=\frac12$

Решим с помощью метода интервалов: $x\in\left(-\infty;3-\sqrt{7}\right]\cup\left(\frac12;1\right]\cup\left[3+\sqrt{7};+\infty\right)$

Пересекая со $\circledast$ , получим: $x\in\left(2-\sqrt{3};3-\sqrt{7}\right]\cup\left[3+\sqrt{7};+\infty\right)$

Задания для подготовки к ЕГЭ Метод рационализации