1. Найдём ОДЗ.

Аргументы логарифмов должны быть положительными:
\(x^2 > 0\), \(2x^2 - 10x + 12{,}5 > 0\).

Так как \(2x^2 - 10x + 12{,}5 = 2(x - 2{,}5)^2\), получаем:
\(x \ne 0\), \(x \ne 2{,}5\).

Знаменатель исходной дроби на ОДЗ положителен: он равен квадрату логарифма плюс 1. Поэтому неравенство равносильно:
\(\log_2 x^2 - \log_3 x^2 \le 0\).

2. Подготовим выражение к рационализации.

При \(x = \pm 1\) оба логарифма равны нулю, поэтому эти значения подходят.

При \(x \ne \pm 1\) перейдём к общему переменному основанию \(x^2\):
\(\frac{1}{\log_{x^2} 2} - \frac{1}{\log_{x^2} 3} \le 0\).
\(\frac{\log_{x^2}\frac{3}{2}}{\log_{x^2} 2 \cdot \log_{x^2} 3} \le 0\).

3. Применим метод рационализации.

Его суть: на ОДЗ логарифм \(\log_a b\) имеет тот же знак, что и выражение \((a - 1)(b - 1)\). Поэтому при решении неравенства каждый логарифмический множитель можно заменить соответствующим алгебраическим выражением, сохранив знак всей дроби.

В нашем случае:
\(\log_{x^2}\frac{3}{2}\) заменяем на \((x^2 - 1)\left(\frac{3}{2} - 1\right)\);
\(\log_{x^2} 2\) заменяем на \((x^2 - 1)(2 - 1)\);
\(\log_{x^2} 3\) заменяем на \((x^2 - 1)(3 - 1)\).

Получаем равносильное неравенство:
\(\frac{(x^2 - 1)\left(\frac{3}{2} - 1\right)}{(x^2 - 1)(2 - 1)(x^2 - 1)(3 - 1)} \le 0\).

Упростим и уберём положительный числовой множитель:
\(\frac{x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} \le 0\).

Таким образом, методом рационализации мы свели логарифмическое неравенство к рациональному.

4. Решим его методом интервалов.

При \(x \ne \pm 1\) знаменатель положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\).

Получаем \(x \in (-1; 1)\).

Добавим проверенные ранее значения \(x = \pm 1\) и исключим \(x = 0\) по ОДЗ. Число \(2{,}5\) в найденный промежуток не входит.

Ответ: \([-1; 0) \cup (0; 1]\).

Задание №52761 ЕГЭ по Математике