nks/30598-2d3b98638e1ff9de.js","35243","static/chunks/35243-51da85fc2282ee1a.js","5322","static/chunks/5322-d651b874c6d06af9.js","36008","static/chunks/36008-17b732f356368970.js","31168","static/chunks/31168-535392cb7f9217f4.js","76986","static/chunks/app/(unauthorized-user)/testing/%5BexamType%5D/%5B...slug%5D/page-da791188224a5b92.js"],""] 54:T6de,

1. Найдём ОДЗ.

Из существования логарифма с основанием \(x\) получаем \(x > 0\), \(x \ne 1\). Также необходимо \(x^2 - 1 > 0\). Вместе эти условия дают \(x > 1\).

При \(x > 1\) остальные условия существования выражений выполняются, а \(\log_x\sqrt{x + 7} \ne 0\).

Следовательно, ОДЗ: \(x > 1\).

2. Объединим логарифмы.

По формуле перехода к новому основанию:
\(\frac{1}{\log_x\sqrt{x + 7}} = \log_{\sqrt{x + 7}}x = 2\log_{x+7}x = \log_{x+7}x^2\).

Перенесём все слагаемые в левую часть:
\(\log_{x+7}(x^2 + 4) - \log_{x+7}(x^2 - 1) + \log_{x+7}x^2 < 0\).

Объединим их:
\(\log_{x+7}\frac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} < 0\).

3. Применим метод рационализации.

На ОДЗ знак \(\log_a b\) совпадает со знаком \((a - 1)(b - 1)\). Поэтому получаем равносильное неравенство:
\((x + 7 - 1)\left(\frac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} - 1\right) < 0\).

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
\((x + 6)\frac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 - 1} < 0\).

На ОДЗ \(x > 1\) каждый множитель положителен:
\(x + 6 > 0\), \(x^4 + 3x^2 + 1 > 0\), \(x^2 - 1 > 0\).

Следовательно, левая часть положительна и не может быть меньше нуля.

Задание №52762 ЕГЭ по Математике