Задания ЕГЭ по математике: Планиметрия

В прямоугольную трапецию \(ABCD\) с прямым углом при вершине \(A\) и острым углом при вершине \(D\) вписана окружность с центром \(O\). Прямая \(DO\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(M\), а прямая \(CO\) пересекает сторону \(AD\) в точке \(K\).
а) Докажите, что \(\angle AMO = \angle DKO\).
б) Найдите площадь треугольника \(AOM\), если \(BC = 10\) и \(AD = 15\).

В треугольнике ABC проведены высота AH и медиана AM, угол ACB равен \(30^\circ.\) Точка H лежит на отрезке BM. В треугольнике ACM проведена высота MQ. Прямые MQ и AH пересекаются в точке F. Известно, что AM — биссектриса угла HAC. 

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. 

б) Найдите площадь треугольника CFM, если AB = 8. 

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена высота СH. В треугольник HBC вписана окружность с центром O. 

а) Докажите, что \(\angle AOC = 90^\circ.\)

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AC = 6 и BO = 1.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3, BC = DE = 4. 

а) Докажите, что AC = CE. 

б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6. 

Сумма оснований трапеции равна \(13\), а её диагонали равны \(5\) и \(12\).
Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AM\). Прямая, проходящая через вершину \(B\) перпендикулярно \(AM\), пересекает сторону \(AC\) в точке \(N\). При этом \(AB = 12\), \(BC = 7\), \(AC = 16\).
Докажите, что биссектриса угла \(C\) делит отрезок \(MN\) пополам.

Точки \(M\) и \(N\) расположены соответственно на сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC,\) причём \(AM : MB = 1 : 4, AN : NC = 5 : 4.\) Прямая \(MN\) пересекает продолжение стороны \(BC\) в точке \(F.\) Найдите отношение \(CF : BC.\) Ответ дайте в виде десятичной дроби.

На диагонали \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) отмечены точки \(E\) и \(P,\) причем \(AE : EP : PC = 1 : 2 : 1.\) Прямые \(DE\) и \(DP\) пересекают стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно.

а) Докажите, что \(KM\) параллельна \(AC.\)

б) Найдите площадь параллелограмма \(ABCD,\) если известно, что площадь пятиугольника \(BKEPM\) равна 30.

Внутри треугольника \(ABC\) на сторонах \(AB, BC\) и \(AC\) взяты соответственно точки \(C_1, A_1\) и \(B_1.\) Соединяющие их отрезки пересекаются в общей точке внутри. Известны длины: \(AC_1 = 4, C_1B = 2, BA_1 = 3, A_1C = 5, B_1A = 6.\) Длина отрезка \(CB_1\) равна \(x.\) Найдите значение \(x.\)

На стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) находится точка D так, что \(\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}.\) На стороне BC находится точка E так, что \(\frac{BE}{EC} = \frac{1}{3}.\) Прямые \(AE\) и \(CD\) пересекаются в общей точке \(O.\) Найдите отношение отрезков \(\frac{AO}{OE}.\)

Точки \(M\) и \(N\) расположены соответственно на сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC,\) причём \(AM : MB = 1 : 2, AN : NC = 3 : 2.\) Прямая \(MN\) пересекает продолжение стороны \(BC\) в точке \(F.\) Найдите отношение \(CF : BC.\) Ответ дайте в виде десятичной дроби. 

Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB = CD = 4,\) а \(BC = DE = 6.\)

а) Докажите, что \(AC = CE.\)

б) Найдите длину диагонали \(BE,\) если \(AD = 7.\)

Окружность с центром \(O\) касается боковых сторон \(AB\) и \(BC\) равнобедренного остроугольного треугольника \(ABC\) и его высоты \(CH.\)

а) Докажите, что \(\angle AOC = 90^\circ.\)

б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если \(BO = 7\) и \(AC = 10.\)

Окружность с центром в точке \(O\) касается сторон угла с вершиной \(N\) в точках \(A\) и \(B.\) Отрезок \(BC\) — диаметр этой окружности. 

а) Докажите, что \(\angle ANB = 2\angle ABC.\) 

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что \(AC = 14\) и \(AB = 36.\)