Задания ЕГЭ по математике: Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Капиллярное поднятие жидкости возникает благодаря силам поверхностного натяжения. Если жидкость смачивает стенки узкой трубки (капилляра), она поднимается на некоторую высоту. Высота поднятия жидкости (в метрах) в капиллярной трубке вычисляется по формуле: \[h = \frac{2\sigma \cos \theta}{r_0(\rho - \rho_0)g},\]
где \(\sigma = 0{,}06\) Н/м — коэффициент поверхностного натяжения, \(\rho = 1020\) кг/м\(^3\) — плотность жидкости, \(\rho_0 = 20\) кг/м\(^3\) — плотность окружающей среды, \(g = 10\) м/с\(^2\) ускорение свободного падения, \(r_0\) — радиус капилляра (в метрах), \(\theta\) — краевой угол (в градусах), характеризующий смачивание. Найдите радиус капилляра \(r_0\), если высота поднятия жидкости в нём равна 0,004 м при краевом угле \(60^\circ\). Ответ дайте в метрах.

Для приготовления сплава из двух металлов с плотностями \(\rho_1 = 2\) кг/л и \(\rho_2 = 3\) кг/л используют массы \(m_1\) и \(m_2\) металлов соответственно. Средняя плотность сплава вычисляется по формуле \(\rho = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}}\). Найдите массу \(m_1\) (в кг), если известно, что \(m_2 = 1\) кг, а средняя плотность сплава равна \(2{,}4\) кг/л.

Луч света переходит из воздуха в жидкость. Угол \(\alpha\) падения луча и угол \(\beta\) преломления связаны формулой \(\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\), где \(n_1 = 1\) — показатель преломления воздуха, \(n_2\) — показатель преломления жидкости. Найдите угол \(\beta\) преломления, если \(\alpha = 60^\circ\), а \(n_2 = \sqrt{1{,}5}\). Ответ дайте в градусах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, \(t\) — время, прошедшее от начального момента, \(T\) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 192 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 6 мг.

Мяч бросили под острым углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\). При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полёта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0 = 30\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k = 1{,}3122 \cdot 10^7\) Па\(\cdot\)м\(^4\), где \(p\) — давление в газе в паскалях, \(V\) — объём газа в кубических метрах, \(k = \frac{4}{3}\). Найдите, какой объём \(V\) (в куб. м) будет занимать газ при давлении \(p\), равном \(1{,}25 \cdot 10^6\) Па.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, \(t\) — время, прошедшее от начального момента, \(T\) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 192 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 6 мг.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время \(t\) падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h = 5t^2\), где \(h\) — расстояние в метрах, \(t\) — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,3 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ дайте в метрах.

Два тела массой \(m = 10\) кг каждое движутся с одинаковой скоростью \(v = 8\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q = mv^2 \sin^2 \alpha\), где \(m\) — масса в килограммах, \(v\) — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом \(2\alpha\) (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 480 джоулей.

Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону
\[v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T},\] где \(t\) — время с момента начала колебаний, \(T = 6\) с — период колебаний, \(v_0 = 0{,}8\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле
\[E = \frac{mv^2}{2},\] где \(m\) — масса груза в килограммах, \(v\) — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 5 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте \(h\) км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l = \sqrt{2Rh}\), где \(R = 6400\) км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 28 километров?

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне \(T_{\text{п}} = 15^\circ\text{C}\), через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды \(m = 1{,}4\) кг/с. Проходя по трубе расстояние \(x\), вода охлаждается от начальной температуры \(T_{\text{в}} = 75^\circ\text{C}\) до температуры \(T\), причём \(x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_{\text{в}} - T_{\text{п}}}{T - T_{\text{п}}}\), где \(c = 4200\) \(\frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}\) — теплоёмкость воды, \(\gamma = 63\) \(\frac{\text{Вт}}{\text{м} \cdot ^\circ\text{C}}\) — коэффициент теплообмена, а \(\alpha = 1{,}8\) — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 168 м.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой \[\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%,\]
где \(T_1\) — температура нагревателя (в кельвинах), \(T_2\) — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре \(T_1\) нагревателя КПД этого двигателя будет 15%, если температура холодильника \(T_2 = 323\) К? Ответ дайте в кельвинах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, \(t\) — время, прошедшее от начального момента, \(T\) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 192 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 6 мг.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P = \sigma S T^4\), где \(P\) — мощность излучения звезды в ваттах, \(\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}\) \(\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}\) — постоянная Стефана-Больцмана, \(S\) — площадь поверхности звезды в квадратных метрах, \(T\) — температура в Кельвинах. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac{1}{16} \cdot 10^{20}\) м\(^2\), а мощность её излучения равна \(9{,}12 \cdot 10^{25}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.