Задания ЕГЭ по математике: Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями \(u\) и \(v\) (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала \(f\) (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле \(f = f_0 \cdot \frac{c + u}{c - v}\), где \(f_0 = 100\) Гц — частота исходного сигнала, \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u = 24\) м/с и \(v = 11\) м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 110 Гц? Ответ дайте в м/с.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a = 3500 \text{ км/ч}^2.\) Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la},\) где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости \(70 \text{ км/ч}.\)

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, \(t\) — время, прошедшее от начального момента, \(T\) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(96\) мг. Период его полураспада составляет \(3\) мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна \(3\) мг.
 

Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону \(m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0 = 40\) мг — начальная масса, \(T = 10\) мин — период полураспада, \(t\) — время в минутах. Через сколько минут масса вещества станет равна \(5\) мг?

К источнику с ЭДС \(\varepsilon = 180\)В и внутренним сопротивлением \(r = 1\) Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением \(R\) (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле \(U = \frac{\varepsilon R}{R + r}.\) При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 170 В? Ответ дайте в омах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P=\sigma ST^4\), где \(P\) – мощность излучения звезды в ваттах, \(\sigma=5,7\cdot10^{-8}\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}\) – постоянная Стефана-Больцмана, \(S\) – площадь поверхности звезды в квадратных метрах, \(T\) – температура в Кельвинах.
Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac{1}{16}\cdot10^{20}\) м\(^2\), а мощность её излучения равна \(9,12\cdot10^{25}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора \(C=5\cdot10^{-6}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением \(R=3\cdot10^6\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0=32\) кВ. После выключения телевизора напряжение убывает до значения \(U\) за время, определяемое выражением \(t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}\), где \(\alpha=1,5\). Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло \(90\) секунд.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=3\) моль воздуха объёмом \(V_1=80\) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=\alpha\nu T\log_2\frac{V_1}{V_2}\), где \(\alpha=5,8\) Дж/(моль·К), \(T=300\) К. Найдите, какой объём \(V_2\) будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии была совершена работа \(20880\) Дж.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=4\) моль воздуха при давлении \(p_1=10\) атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=\alpha\nu T\log_2\frac{p_2}{p_1}\), где \(\alpha=6,4\) Дж/(моль·К), \(T=300\) К. Найдите давление \(p_2\), если при сжатии воздуха была совершена работа \(7680\) Дж.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) уменьшается по закону \(m=m_0\cdot2^{-\frac{\tau}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, \(\tau\) — время, прошедшее от начального момента, \(T\) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа равна \(100\) мг. Период его полураспада составляет \(2\) минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна \(12,5\) мг.

Примечание: \({-\frac{\tau}{T}}\) — степень двойки.

Два тела массой \(m=9\) кг каждое движутся с одинаковой скоростью \(v=6\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу. Энергия, выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q=mv^2\sin^2\alpha\). Найдите, под каким углом \(2\alpha\) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия \(81\) Дж.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k=c\), где \(p\) — давление газа, \(V\) — объём газа, \(k=\frac43\), \(c=4,8\cdot10^6\) — постоянные. Найдите, какой объём \(V\) будет занимать газ при давлении \(p=3\cdot10^5\) Па.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана \(P=\sigma ST^4\), где \(P\) — мощность излучения звезды, \(\sigma=5,7\cdot10^{-8}\) — постоянная, \(S\) — площадь поверхности звезды, \(T\) — температура в кельвинах. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac1{256}\cdot10^{21}\) м², а мощность её излучения равна \(9,12\cdot10^{26}\) Вт. Найдите температуру этой звезды.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте \(h\) километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l=\sqrt{2Rh}\), где \(R=6400\) км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии \(24\) километров?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a=2500\) км/ч². Скорость \(v\) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь в километрах. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости \(50\) км/ч.