Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) уменьшается по закону \(m=m_0\cdot2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа в мг, \(t\) — время, прошедшее от начального момента в минутах, \(T\) — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 744 МГц. Скорость погружения батискафа \(v\) вычисляется по формуле \(v=c\cdot\dfrac{f-f_0}{f+f_0}\), где \(c=1500\) м/с — скорость звука в воде, \(f_0\) — частота испускаемых импульсов, \(f\) — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0=57\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=8\) км/ч\(^2\). Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением \(S=v_0t+\dfrac{at^2}{2}\), где \(t\) — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 45 км от города. Ответ выразите в минутах.

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0=24\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a=3\) м/с\(^2\). За \(t\) секунд после начала торможения он прошел путь \(S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}\) (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P=\sigma ST^4\), где \(P\) — мощность излучения звезды в ваттах, \(\sigma=5{,}7\cdot10^{-8}\ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}\) — постоянная Стефана-Больцмана, \(S\) — площадь поверхности звезды в квадратных метрах, \(T\) — температура в Кельвинах. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\dfrac{1}{16}\cdot10^{20}\ \text{м}^2\), а мощность её излучения равна \(9{,}12\cdot10^{25}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности \(In\), оперативности \(Op\), объективности публикаций \(Tr\), а также качества сайта \(Q\). Каждый отдельный показатель — целое число от \(-2\) до \(2\). Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид \(R=\frac{5In+Op+3Tr+Q}{A}\).

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.

Мяч бросили под углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле \(t=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\). При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полёта составит 1,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0=16\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g\) равно \(\text{10 м/с}^2\).

Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \dfrac{2 v_{0} \sin \alpha}{g}.\) При каком значении угла α (в градусах) время полёта составит \(5{,}6\) секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_{0} = 28 м/с\)? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с².

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_{0} = 160\)Гц и равна:
\(f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v},\)где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 8 м/с и v = 16 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно.

При какой скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота f сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц?

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле \(P = \dfrac{4 m g}{\pi D^{2}},\) где \(m = 7500 кг\) — общая масса навеса и колонны, \(D\)— диаметр колонны (в метрах). Считая, что ускорение свободного падения \(g = 10 м/с²\), а \(\pi = 3\), определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше \(400000 Па\). Ответ выразите в метрах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi = \omega t + \dfrac{\beta t^{2}}{2},\) где t — время в минутах, \(\omega = 45^{\circ}/\text{мин}\) — начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta = 6^{\circ}/\text{мин}^{2}\) — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. 

Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\varphi\) достигнет \(4050^{\circ}\). Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой \(q=85-5p.\) Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r(p)=q\cdot p.\) Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка \(r(p)\) составит не менее 210 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 200 руб., постоянные расходы предприятия f = 500000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия вычисляется по формуле \(\pi(q) = q(p - v) - f.\) Определите месячный объем производства q, при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 1000000 руб.

В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет \(R_1=90\) Ом. Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние \(R_2\) этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми \(R_1\) Ом и \(R_2\) Ом их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой \(R_{общ}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\), а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 9 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч\(^2\). Скорость вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где l  — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 километра, приобрести скорость 70 км/ч. Ответ выразите в км/ч\(^2\).