Задания ЕГЭ по математике: Трапеция и её свойства

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\). Точка \(O\) – точка пересечения диагоналей. Через нее провели прямую \(EF\), параллельную основаниям.

а) Докажите, что \(EO=OF\).

б) Найдите отношение площадей \(FBCE\) и \(AFED\), если \(\frac{BC}{AD}=\frac25\).

\(ABCD\) – ​трапеция, на боковой стороне \(CD\) ​которой отмечена точка \(M\), ​причем \(CM=MD\). ​
а) Докажите, что \(S_{ABM}=\frac12S_{ABCD}\).​
б) Дано:​ \(K\in CD:S_{BKC}=\frac12S_{AKD},AD=2BC,\rho(D,AB)=10\). ​Найдите расстояние от точки \(K\) ​до стороны​ \(AB\).​​​

\(MN\) – ​средняя линяя треугольника ​\(ABC\), ​параллельная стороне \(AC\), причем​ \(M\in AB,N\in BC\).​Образованный четырехугольник​ \(AMNC\) – ​вписанный.
а) Докажите, что \(AB=BC\).​
б) Дано: \(F\in AC, \angle AFB=135°, BF\cap MN=E,\angle ABC=120°, EF=6\sqrt2\). ​Найдите радиус окружности, описанной около ​\(AMNC\).​

Пусть ​\(ABCD\) – ​трапеция с основаниями \(BC,AD\). ​Точки​ \(M,N\) – ​середины сторон \(AB,CD\). ​Окружность, проходящая через \(B,C\) ​пересекает отрезки \(BM,CN\) ​в точках \(P,Q\). ​Точки пересечений отличны от концов отрезков.
а) Докажите, что \(MNQP\) – ​вписанный четырехугольник.
б) Известно, что ​\(DP\perp PC, AB=25,BC=3,CD=28,AD=20\). ​Найдите радиус описанной около \(MPQ\)​окружности.

​\(BC\) и \(AD\) – ​основания трапеции \(ABCD\). ​Известно, что \(\angle ABD=\angle ACD=90°\).​

а) Докажите, что ​\(AB=CD\).​

б) Известно, что ​\(AB=2,BC=7\). ​Найдите ​\(AD\).​

На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\frac12KN\). Точка \(P\) — середина отрезка \(KN\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\).