а) Приведём обе части уравнения к основанию 36:
\(6^{2\sin x} = (6^2)^{\sin x} = 36^{\sin x}\).

Получаем:
\(36^{\sin 2x} = 36^{\sin x}\).

Поскольку основания равны и отличны от единицы, приравняем показатели:
\(\sin 2x = \sin x\).

Используем формулу синуса двойного угла:
\(2\sin x\cos x = \sin x\).
\(\sin x(2\cos x - 1) = 0\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\(\sin x = 0\) или \(\cos x = \frac{1}{2}\).

Отсюда:
\(x = \pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\);
\(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

б) Отметим на тригонометрической окружности точки полученных серий решений и дугу, соответствующую отрезку \(\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}\right]\).

При увеличении угла от \(-\frac{7\pi}{2}\) до \(-\frac{5\pi}{2}\) движемся от верхней точки окружности через левую полуокружность к нижней точке.

Из серии \(x = \pi k\) на этой дуге лежит только точка с углом \(-3\pi\).

Точки серии \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\) находятся в правой полуокружности, поскольку их абсцисса равна \(\frac{1}{2}\). Поэтому на выделенную дугу они не попадают.

Следовательно, единственный корень на заданном отрезке — \(-3\pi\).

Ответ:

а) \(x = \pi k\) или \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

б) \(-3\pi\).

Задание №52742 ЕГЭ по Математике