а) Решим уравнение:

1-й способ:

$\cos x+\cos(x+2x)=0\Leftrightarrow\cos x+\cos x\cos2x-\sin x\sin2x=0\Leftrightarrow \cos x+\cos x (2\cos^{2}x-1)-\sin x\cdot2\sin x\cos x=0\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x+2\cos^{3}x-\cos x-2\sin^{2}x\cos x=0\Leftrightarrow\cos x (1+2\cos^{2}x-1-2\sin^{2}x)=0\Leftrightarrow 2\cos x\left(\cos^{2}x-\sin^{2}x\right)=0\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2\cos x\cos2x=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}{\cos x=0}\\{\cos2x=0}\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}{x=\frac{\pi}{2}+\pi k}\\{2x=\frac{\pi}{2}+\pi k}\\\end{matrix}\right.,k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi k\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\end{matrix}\right.,k\in\mathbb{Z}$

2-й способ:

Воспользуемся формулой перехода из суммы в произведение:

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}=0\Leftrightarrow2\cos2x\cos-x=0\Leftrightarrow2\cos2x\cos x=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\cos2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ $\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi k\\2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\end{matrix}\right.,k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi k\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\end{matrix}\right.,k\in\mathbb{Z}$

б) Отберем корни с помощью двойного неравенства:

$\begin{gathered} 0\leq \frac{\pi}{2}+\pi k\leq\pi\mid:\pi \\ 0\leq \frac{1}{2}+k\leq1\mid-\frac{1}{2} \\ -\frac12\leq k\leq\frac12 \\ k=0 \\ x_{1} =\frac\pi2+0\cdot\pi=\frac\pi2 \end{gathered}$

$\begin{gathered} 0\leq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\leq\pi\mid:\pi \\ 0\leq{\frac{1}{4}}+{\frac{k}{2}}\leq1\mid-{\frac{1}{4}} \\ -\frac{1}{4}\leq\frac{k}{2}\leq\frac{3}{4}\mid\cdot2 \\ -\frac12\leq k\leq\frac32 \\ k=0;1 \\ x_{2}={\frac{\pi}{4}}+0\cdot\pi={\frac{\pi}{4}};x_{3}={\frac{\pi}{4}}+{\frac{\pi}{2}}={\frac{3\pi}{4}} \end{gathered}$

Задания для подготовки к ЕГЭ Тригонометрические: разложение на множители