Найдем ограничение:

$\frac{3}{2}( 1 - \cos x) \geq 0 \Leftrightarrow 1 - \cos x \geq 0 \Leftrightarrow \cos x \leq 1$

Преобразуем, используя $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ :

$\sin x + \sqrt{3\sin^2\frac{x}{2}} = 0$

$\sin x + \sqrt{3}|\sin\frac{x}{2}| = 0$

Преобразуем:

$2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 |\sin \frac{x}{2}| = 0$

Получим систему:

$\begin{cases} 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 \sin \frac{x}{2} = 0, \ \sin \frac{x}{2} \geq 0 & (1) \\ 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sqrt 3 \sin \frac{x}{2} = 0, \ \sin \frac{x}{2} < 0 & (2) \end{cases}$

Решим (1):

$\sin \frac{x}{2}(2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt 3) = 0$

Получим совокупность:

$\left[ \begin{aligned} & \sin \frac{x}{2}= 0 \\ & \cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt 3}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\\ & x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{aligned} \right.$

Учитывая ограничение остается:

$\left[ \begin{aligned} & x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\\ & x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{aligned} \right.$

Решим (2):

$\sin \frac{x}{2}(2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt 3) = 0$

Получим совокупность:

$\left[ \begin{aligned} & \sin \frac{x}{2}= 0 \\ & \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt 3}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\\ & x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{aligned} \right.$

Учитывая ограничение остается:

$x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Также обратим внимание на то, что $\frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$

Найдем корни на отрезке

Серия $-\frac{\pi}{3}$ не подходит так как идет через 4 круга, а мы находимся на 6м обороте

$x_{1}= -6\pi$

$\textbf{Ответ:} \\[2pt]$
а) $x= -\frac{\pi}{3}+ 2\pi k,\ 4\pi k, \ k\in\mathbb{Z}$
б) $x= -6\pi$

Задания для подготовки к ЕГЭ Решение уравнений