а) Воспользуемся формулами приведения.

Так как косинус — четная функция, $\cos(x - \pi) = \cos(\pi - x).$

По формуле приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x.$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$$\sin 2x - (-\cos x) = 0$$

$$\sin 2x + \cos x = 0$$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x:$

$$2\sin x \cos x + \cos x = 0$$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (2\sin x + 1) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

$$\cos x = 0$$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$2\sin x + 1 = 0$$

$$\sin x = -\frac{1}{2}$$

Получаем две серии решений:

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

б) Отбор корней.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2}; 5\pi\right],$ с помощью двойных неравенств.

Ответ:

$а) \frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m; \quad k, n, m \in \mathbb{Z}$

$б) \frac{7\pi}{2}; \frac{23\pi}{6}; \frac{9\pi}{2}$

Задание №52618 ЕГЭ по Математике