а) Так как $AM:MB=AN:ND$ , то по обратной теореме о пропорциональных отрезках $MN\parallel BD$ .
Пусть плоскость сечения $\alpha$ пересекает $CD$ в точке $K$ .

Линии пересечения трех попарно пересекающихся плоскостей либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке.
Тогда рассмотрим плоскости $(ABD)$ , $(CBD)$ и $(LMN)$ . Они пересекаются по прямым $MN$ , $BD$ и $LK$ . Так как $MN\parallel BD$ , то линии пересечения плоскостей не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, они попарно параллельны:

$MN\parallel BD\parallel LK$

Отсюда $LK\parallel BD$ . Тогда по теореме о пропорциональных отрезках получаем:

$CK:KD=CL:LB=2:1$

б) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны $6$ .
Так как $MN\parallel BD$ , то $\triangle AMN\sim\triangle ABD$ по двум углам.
Запишем отношение подобия:

$\frac{MN}{BD}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$

$MN=\frac{1}{3}BD=\frac{6}{3}=2$

Так как $LK\parallel BD$ , то $\triangle CLK\sim\triangle CBD$ по двум углам.
Запишем отношение подобия:

$\frac{LK}{BD}=\frac{CK}{CD}=\frac{2}{3}$

$LK=\frac{2}{3}BD=\frac{2\cdot6}{3}=4$

Так как $AN:ND=AM:MB=DK:KC=BL:LC=1:2$ , то имеем:

$AM=AN=BL=KD=2$

$CL=CK=MB=ND=4$

Отметим, что все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно $\angle MBL=\angle NDK=60^\circ$ .
Получаем, что $\triangle MBL=\triangle NKD$ по двум сторонам и углу между ними: $MB=ND=4$ , $BL=KD=2$ , $\angle MBL=\angle NDK=60^\circ$ .
Следовательно, $ML=NK$ . Тогда так как $MN\parallel LK$ , $MN\ne LK$ , то сечение $MNKL$ тетраэдра — равнобедренная трапеция с основаниями $MN=2$ и $LK=4$ .
Найдем боковую сторону трапеции. По теореме косинусов для $\triangle NKD$ :

$NK^2=ND^2+KD^2-2\cdot ND\cdot KD\cdot \cos\angle NDK$

$NK^2=16+4-2\cdot4\cdot2\cdot\frac{1}{2}$

$NK^2=12\ \Rightarrow\ NK=2\sqrt3$

Найдем площадь трапеции $MNKL$ . Для этого проведем высоты $MR$ и $NT$ .

Так как трапеция равнобедренная, то

$LR=TK=\frac{LK-MN}{2}=\frac{4-2}{2}=1.$

Тогда по теореме Пифагора для $\triangle MLR$ :

$LM^2=MR^2+LR^2$

$MR^2=12-1=11\ \Rightarrow\ MR=\sqrt11$

Отсюда площадь трапеции равна

$S_{MNKL}=\frac{MN+LK}{2}\cdot MR=\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt11=3\sqrt11.$

Ответ:
б) $3\sqrt11$

Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет