Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет
Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). \(M\) – точка пересечения диагоналей грани \(AA_1B_1B\), \(N\) – точка пересечения диагоналей грани \(BB_1C_1C\), а \(K\) – середина ребра \(CD\).
а) Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью \(MNK\) – пятиугольник.
б) Найти отношение длин отрезков, на которые делит плоскость \(MNK\) ребро \(BB_1\), если \(AB=BC=\frac{\sqrt2}{2}AA_1\).
В правильной четырёхугольной пирамиде \(PABCD\) сторона основания \(ABCD\) равна \(12\), а боковое ребро \(PA\) равно \(12\sqrt2\). Через вершину \(A\) проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная прямой \(PC\) и пересекающая ребро \(PC\) в точке \(K\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит высоту \(PH\) пирамиды \(PABCD\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(P\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(PH\) и \(BK\).
Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Диагонали боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) равны \(26\) и \(10\) соответственно, \(AB=25\).
а) Докажите, что \(\triangle BA_1C_1\) — прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды \(AA_1C_1B\).
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(K\) — середина ребра \(B_1C_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\), \(K\) и \(D\).
а) Докажите, что сечением куба плоскостью \(\alpha\) является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки \(C_1\) до плоскости \(\alpha\), если ребро куба равно \(3\).
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) отметили точки \(M\) и \(K\) на ребрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) соответственно. Известно, что \(AM=3MA_1\), \(A_1K=KB_1\). Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно грани \(ABB_1A_1\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_1\).
б) Найдите расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(\alpha\), если все ребра призмы равны \(16\).
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\), \(K\) и \(C\).
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \(\alpha\) является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости сечения, если все ребра призмы равны \(4\).
На ребрах \(BC\), \(AB\) и \(AD\) правильного тетраэдра \(ABCD\) отмечены точки \(L\), \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(AM:MB=BL:LC=AN:ND=1:2\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\), проходящая через точки \(L\), \(M\) и \(N\), делит ребро \(CD\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(C\).
б) Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если \(AB=6\).
Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости основания \(ABCD\) правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) и пересекает ребро \(SA\) в точке \(K\). Сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) является правильным треугольником площадью \(2\sqrt3\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(AC\).
б) В каком отношении точка \(K\) делит ребро \(SA\), считая от точки \(S\), если объём пирамиды равен \(36\sqrt6\)?
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) точка \(O\) — центр основания \(ABCD\). Точка \(N\) делит ребро \(SD\) в отношении \(SN:ND=1:2\).
Плоскость \(\alpha\), проходящая через точки \(O\) и \(N\) и параллельная ребру \(SA\), пересекает ребро \(SC\) в точке \(M\). Известно, что \(SA=AB=6\).
а) Докажите, что точка \(M\) — середина \(SC\).
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость \(\alpha\) пересечёт грань \(BSC\).
Основанием прямой четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадрат \(ABCD\) со стороной \(3\sqrt2\), высота призмы равна \(2\sqrt7\). Точка \(K\) — середина ребра \(BB_1\). Через точки \(K\) и \(C_1\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная прямой \(BD_1\).
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \(\alpha\) является равнобедренный треугольник.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью \(\alpha\).
В правильном тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины ребер \(AB\) и \(CD\) соответственно.
а) Докажите, что прямая \(MN\) перпендикулярна ребрам \(AB\) и \(CD\).
б) Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(MN\) и пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\). Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если известно, что \(BK=1\), \(KC=5\).
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) известно, что \(AB=2\). Через точку \(O\) пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру \(SC\) провели плоскость \(\alpha\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершины \(B\) и \(D\).
б) В каком отношении плоскость \(\alpha\) делит ребро \(SC\), считая от вершины \(S\), если площадь сечения равна \(\sqrt{3}\).
В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB\) равна 3, а боковое ребро \(SA\) равно 5. На ребре \(AC\) отмечена точка \(M\), а на продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\) — точка \(N\) так, что \(CM=CN=1\).
а) Докажите, что сечение пирамиды \(SABC\) плоскостью \(SNM\) является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды \(SABC\) плоскостью \(SNM\).
В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) через ребро \(AB\) провели плоскость \(\alpha\), образующую сечение \(ABMN\), где точки \(M\) и \(N\) — точки пересечения плоскости с боковыми ребрами \(SC\) и \(SD\) соответственно. Известно, что \(AB=BM=AN=5MN\).
а) Докажите, что точки \(M\) и \(N\) делят ребра \(SC\) и \(SD\) в отношении \(1:4\), считая от вершины \(S\).
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания \(ABCD\) и плоскостью \(\alpha\).
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) отметили точки \(M\) и \(K\) на ребрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) соответственно. Известно, что \(A_1M=2AM\), \(A_1K=KB_1\).
Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\), перпендикулярную грани \(ABB_1A_1\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_1\).
б) Найдите площадь сечения призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(\alpha\), если все ребра призмы равны \(20\).
