Найдем ограничения:

Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $x^2 - x - 2 \ne 0$ и $x - 2 \ne 0$

Разложим первый знаменатель на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0:$

$x_1 = 2, x_2 = -1.$

Следовательно, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1).$

Ограничение: $x \ne 2, x \ne -1.$

В числителе первой дроби вынесем $2x^2$ за скобки:

$2x^4 + 4x^3 + 2x^2 = 2x^2(x^2 + 2x + 1)$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $2x^2(x + 1)^2$

Тогда первая дробь примет вид:

$\frac{2x^2(x + 1)^2}{(x - 2)(x + 1)}$

Так как $x \ne -1$ (по ограничениям), мы можем сократить дробь на (x + 1):

$\frac{2x^2(x + 1)}{x - 2} = \frac{2x^3 + 2x^2}{x - 2}$

Подставим упрощенную первую дробь в исходное неравенство.

$$\frac{2x^3 + 2x^2}{x - 2} - \frac{x^3 - x^2 - 3x + 8}{x - 2} \ge 1$$

Так как знаменатели одинаковые, вычтем числители:

$$\frac{2x^3 + 2x^2 - (x^3 - x^2 - 3x + 8)}{x - 2} \ge 1$$

$$\frac{2x^3 + 2x^2 - x^3 + x^2 + 3x - 8}{x - 2} \ge 1$$

$$\frac{x^3 + 3x^2 + 3x - 8}{x - 2} \ge 1$$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$$\frac{x^3 + 3x^2 + 3x - 8}{x - 2} - 1 \ge 0$$

$$\frac{x^3 + 3x^2 + 3x - 8 - (x - 2)}{x - 2} \ge 0$$

$$\frac{x^3 + 3x^2 + 3x - 8 - x + 2}{x - 2} \ge 0$$

$$\frac{x^3 + 3x^2 + 2x - 6}{x - 2} \ge 0$$

Разложим числитель на множители.

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 + 3x^2 + 2x - 6.$

Найдем целый корень среди делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6.$

$P(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 6 = 1 + 3 + 2 - 6 = 0.$

Значит, x = 1 является корнем. Разделим P(x) на (x - 1) столбиком или по схеме Горнера: $x^3 + 3x^2 + 2x - 6 = (x - 1)(x^2 + 4x + 6)$

Квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 6$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 < 0.$

Более того, старший коэффициент положителен (a = 1 > 0), поэтому $x^2 + 4x + 6 > 0$ при любых x.

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$$\frac{(x - 1)(x^2 + 4x + 6)}{x - 2} \ge 0$$

Так как $(x^2 + 4x + 6) > 0$ при всех x, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, знак неравенства при этом не изменится:

$$\frac{x - 1}{x - 2} \ge 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Числитель: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1.$

Знаменатель: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2.$

При x > 2 (например, x = 3): $\frac{3 - 1}{3 - 2} = \frac{2}{1} > 0$ (+)

При 1 < x < 2 (например, x = 1,5): $\frac{1,5 - 1}{1,5 - 2} = \frac{0,5}{-0,5} < 0$ (-)

При $x < 1, x \ne -1$ (например, x = 0): $\frac{0 - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} > 0$ (+)

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"): Это $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1] \cup (2; +\infty).$

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 1] \cup (2; +\infty)$

Задание №52621 ЕГЭ по Математике