Пусть \( t = 8^x \), тогда \( t > 0 \).

Заметим, что: \[2 \cdot 8^{x-1} = 2 \cdot \frac{8^x}{8} = \frac{2t}{8} = \frac{t}{4}.\]

\[64^x = (8^2)^x = 8^{2x} = (8^x)^2 = t^2.\]

Подставим в исходное неравенство:

\[\frac{\frac{t}{4}}{\frac{t}{4} - 1} \geq \frac{3}{t-1} + \frac{8}{t^2 - 5t + 4}.\]

Упростим левую часть:

\[\frac{\frac{t}{4}}{\frac{t-4}{4}} = \frac{t}{t-4}.\]

Тогда неравенство примет вид: \[\frac{t}{t-4} \geq \frac{3}{t-1} + \frac{8}{t^2 - 5t + 4}.\]

Разложим знаменатель на множители: \[t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4).\]

Перенесём всё в одну часть: \[\frac{t}{t-4} - \frac{3}{t-1} - \frac{8}{(t-1)(t-4)} \geq 0.\]

Приведём к общему знаменателю \((t-1)(t-4)\): \[\frac{t(t-1) - 3(t-4) - 8}{(t-1)(t-4)} \geq 0.\]

Раскроем скобки в числителе: \[t(t-1) = t^2 - t,\]
\[-3(t-4) = -3t + 12.\]

Тогда числитель: \[t^2 - t - 3t + 12 - 8 = t^2 - 4t + 4.\]

Получаем: \[\frac{t^2 - 4t + 4}{(t-1)(t-4)} \geq 0.\]

Заметим, что: \[t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2 \geq 0.\]

Таким образом, неравенство сводится к: \[\frac{(t-2)^2}{(t-1)(t-4)} \geq 0.\]

Так как \((t-2)^2 \geq 0\) при всех \(t\), знак дроби определяется знаменателем: \[(t-1)(t-4) > 0.\]

Решим методом интервалов: \[(t-1)(t-4) > 0 \quad \Rightarrow \quad t < 1 \quad \text{или} \quad t > 4.\]

Также числитель может обращаться в ноль при \(t = 2\), что даёт равенство нулю всей дроби: \[\frac{(2-2)^2}{(2-1)(2-4)} = 0 \geq 0,\]

значит, \(t = 2\) также является решением.

Кроме того, необходимо учесть ОДЗ: \(t \neq 1\), \(t \neq 4\) (знаменатели не должны обращаться в ноль).

Таким образом, получаем: \[t < 1, \quad t = 2, \quad t > 4.\]

Вернёмся к переменной \(x\):

1) При \(t < 1\): \[8^x < 1 \quad \Rightarrow \quad x < 0.\]

2) При \(t = 2\): \[8^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \log_8 2 = \frac{1}{3}.\]

3) При \(t > 4\): \[8^x > 4 \quad \Rightarrow \quad x > \log_8 4 = \frac{2}{3}.\]

Ответ: \[(-\infty; 0) \cup \left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right).\]

Задание №48351 ЕГЭ по Математике