$\frac{3^{x^2+x}-4\cdot\sqrt{3^{x^2+x}}+3}{\sqrt{x}-\sqrt{x+4}}\le 0.$

$\text{Запишем ОДЗ:}$

$\left[ \begin{aligned} &x\ge 0,\\ &x+4\ge 0 \end{aligned} \right. \iff x\ge 0.$

$\text{Так как } \sqrt{x}<\sqrt{x+4}\ \text{при } x\ge 0,\ \text{то } \sqrt{x}-\sqrt{x+4}<0.$
$\text{Поэтому исходное неравенство равносильно системе:}$

$\left[ \begin{aligned} &3^{x^2+x}-4\cdot\sqrt{3^{x^2+x}}+3\ge 0,\\ &x\ge 0. \end{aligned} \right.$

$\text{Решим первое неравенство системы. Пусть } \sqrt{3^{x^2+x}}=t.$

$\text{Тогда неравенство примет вид: } t^2-4t+3\ge 0.$

$t^2-4t+3=0 \iff \left[ \begin{aligned} &t=1,\\ &t=3. \end{aligned} \right.$ $t^2-4t+3\ge 0 \iff (t-1)(t-3)\ge 0.$

$\text{Решим полученное неравенство методом интервалов:}$

$\left[ \begin{aligned} &t\le 1,\\ &t\ge 3 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &\sqrt{3^{x^2+x}}\le 1,\\ &\sqrt{3^{x^2+x}}\ge 3 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &\sqrt{3^{x^2+x}}\le (\sqrt{3})^0,\\ &\sqrt{3^{x^2+x}}\ge (\sqrt{3})^2 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &x^2+x\le 0,\\ &x^2+x-2\ge 0 \end{aligned} \right.$ $\iff \left[ \begin{aligned} &x(x+1)\le 0,\\ &(x-1)(x+2)\ge 0 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &-1\le x\le 0,\\ &x\le -2,\ \ x\ge 1 \end{aligned} \right. \iff x\in(-\infty;-2]\cup[-1;0]\cup[1;\infty).$

$\text{Так как ОДЗ } x\ge 0,\ \text{то решение исходного неравенства будет иметь вид: } x\in\{0\}\cup[1;\infty).$

$\textbf{Ответ: } \{0\}\cup[1;\infty).$

Задание №30107 ЕГЭ по Математике