Способ 1

Разобьем все победы и поражения шахматиста на пары (возможно, останутся либо победы, либо поражения). Заменим каждую получившуюся пару на две ничьи. Если результатом игры стала победа кого-то из участников, то за игру было разыграно $1 + 0 = 1$ очко. Если же участники сыграли вничью, то за игру было также разыграно $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ очко. Тогда при замене пары победы и поражения на две ничьи количество очков не изменится. Также разность между количеством побед и поражений останется прежней, так как в парах эта разность равна 0, при замене на две ничьи разность также останется равной 0. Поэтому можно считать, что у шахматиста были либо только победы и ничьи, либо только поражения и ничьи.

Если бы шахматист сыграл все партии вничью, то так как партий было 100, то он бы набрал $100 \cdot \frac{1}{2} = 50$ очков. Но он набрал $52, 5$ , что больше $50$ . Значит, у шахматиста должны быть победы. При замене одной ничьи на победу, количество очков увеличивается на $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ . Тогда разность $52, 5 - 50 = 2, 5$ можно получить $2, 5 : \frac{1}{2} = 5$ раз заменив ничью на победу. Таким образом, побед было на 5 больше.

Способ 2

Пусть шахматист выиграл $x$ партий, сыграл вничью $y$ партий и проиграл $z$ партий. Тогда всего он набрал $1 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot y + 0 \cdot z = x + \frac{1}{2}y$ очков. По условию это число равно $52, 5$ . Всего игр было 100, то есть $x + y + z = 100$ . Тогда

$\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{1}{2}y = 52, 5 \\ x + y + z = 100 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 105 \\ x + y + z = 100 \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\left\{ \begin{array}{l} (2x + y) - (x + y + z) = 105 - 100 \\ x + y + z = 100 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - z = 5 \\ x + y + z = 100 \end{array} \right.$

Значит, побед на 5 больше, чем поражений.

$\textbf{Ответ:}$ 5

Задания для подготовки к ЕГЭ Теория чисел