Задания ЕГЭ по математике: Теория чисел
Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.
а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?
б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?
Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?
в) Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2?
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй — 94, в третьей — 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй — 94, в третьей — 95, а в четвёртой — 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), удовлетворяющие равенству
\(\overline{ab} = a^b + 23\)
В левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа \(a\) перед десятичной записью числа \(b\).
Оля участвовала в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Оля набрала 35 баллов. На сколько вопросов Оля ответила правильно, если в викторине было 24 вопроса?
Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему у них во втором подъезде надо собрать денег на \(40\%\) больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что двузначные номера стоят вдвое, а трёхзначные — втрое больше, чем однозначные. Сколько квартир в подъезде?
В классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?
Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей, а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины с костями?
Докажите, что для любых натуральных чисел \(n\) и \(m\) существуют целые числа \(p\) и \(q\), такие что \(\text{НОД}(n;m) = pn + qm\).
Решите в целых числах уравнение \(x^2 = 5 + y^2\).
Докажите, что если \(\text{НОД}(n;m) > 1\), где \(n,m \in \mathbb{N}\), то не существует целых чисел \(p\) и \(q\), таких что \(pn + qm = 1\).
В прямоугольной таблице 8 столбцов, сумма чисел в каждом столбце равна 10, а сумма чисел в каждой строке равна 20. Сколько в таблице строк?
В школьной столовой дети покупают либо один хот-дог, либо одну ватрушку, либо один хот-дог и одну ватрушку. В один из дней было продано 57 хот-догов и 36 ватрушек. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и хот-дог, и ватрушку?
Шахматист сыграл в турнире 100 партий и набрал \(52,5\) очка. При этом за победу дается 1 очко, за ничью дается \(0,5\) очка. На сколько больше он выиграл партий, чем проиграл?
В футбольном турнире участвовало 6 команд, каждая сыграла с каждой ровно один матч. За победу дается 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. В сумме команды набрали 42 очка. Сколько ничьих было в этом турнире?