а) Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

\(3^x-1\ne0\),

\(3^x-2\ne0\).

Сделаем замену:

\(t=3^x,\quad t>0\).

Тогда исходное уравнение примет вид:

\(\frac2{t-1}+4=\frac5{t-2}\).

Ограничения: \(t\ne1,\quad t\ne2\).

Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(\frac2{t-1}+4-\frac5{t-2}=0\).

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{2(t-2)+4(t-1)(t-2)-5(t-1)}{(t-1)(t-2)}=0\).

Раскроем скобки:

\((t-1)(t-2)=t^2-3t+2\).

Тогда:

\(\frac{2t-4+4(t^2-3t+2)-5t+5}{(t-1)(t-2)}=0\).

Раскроем оставшиеся скобки:

\(\frac{2t-4+4t^2-12t+8-5t+5}{(t-1)(t-2)}=0\).

Приведём подобные слагаемые:

\(\frac{4t^2-15t+9}{(t-1)(t-2)}=0\).

Приравняем числитель к нулю:

\(4t^2-15t+9=0\).

Разложим на множители:

\((4t-3)(t-3)=0\).

\(4t-3=0\) или \(t-3=0\).

\(t=\frac34\) или \(t=3\).

Оба значения удовлетворяют ограничениям.

Вернёмся к исходной переменной.

Первый случай:

\(3^x=\frac34\).

По определению логарифма:

\(x=\log_3\frac34\).

Второй случай:

\(3^x=3\),

\(3^x=3^1\),

\(x=1\).

б) Отберём корни на промежутке \([-\log_3 2;-\log_3\frac{10}{9}]\).

Преобразуем границы промежутка:

\(-\log_3 2=\log_3\frac12\).

\(-\log_3\frac{10}{9}=\log_3\frac9{10}\).

Следовательно, промежуток имеет вид:

\([\log_3\frac12;\log_3\frac9{10}]\).

Проверим \(x=1\).

\(1=\log_3 3\).

Так как \(3>\frac9{10}\), то

\(1=\log_3 3>\log_3\frac9{10}\).

Следовательно, \(x=1\) не принадлежит заданному промежутку.

Проверим \(x=\log_3\frac34\).

Сравним подлогарифмические выражения:

\(\frac12<\frac34<\frac9{10}\).

Так как основание логарифма \(3>1\), знак неравенства сохраняется:

\(\log_3\frac12<\log_3\frac34<\log_3\frac9{10}\).

Следовательно, \(x=\log_3\frac34\) принадлежит заданному промежутку.

Ответ: а) \(1;\ \log_3\frac34\).

б) \(\log_3\frac34\).

Задание №51446 ЕГЭ по Математике