а) Преобразуем показатель первой степени:

\(8x^2-6x-13=2(4x^2-3x-7)+1\).

Подставим в уравнение:

\(3^{2(4x^2-3x-7)+1}-3^{4x^2-3x-7}-2=0\).

Используем свойства степеней:

\(3\cdot3^{2(4x^2-3x-7)}-3^{4x^2-3x-7}-2=0\).

\(3\cdot(3^{4x^2-3x-7})^2-3^{4x^2-3x-7}-2=0\).

Сделаем замену:

\(t=3^{4x^2-3x-7},\quad t>0\).

Тогда уравнение примет вид:

\(3t^2-t-2=0\).

Разложим на множители:

\((3t+2)(t-1)=0\).

\(3t+2=0\) или \(t-1=0\).

\(t=-\frac23\) или \(t=1\).

Так как \(t>0\), значение \(t=-\frac23\) не подходит.

Следовательно, \(t=1\).

Вернёмся к исходной переменной:

\(3^{4x^2-3x-7}=1\),

\(3^{4x^2-3x-7}=3^0\),

\(4x^2-3x-7=0\).

Найдём дискриминант:

\(D=(-3)^2-4\cdot4\cdot(-7)\),

\(D=9+112=121\).

\(\sqrt D=11\).

Найдём корни:

\(x=\frac{3\pm11}{8}\).

\(x_1=\frac{3+11}{8}=\frac{14}{8}=\frac74\).

\(x_2=\frac{3-11}{8}=-\frac88=-1\).

Получили два корня: \(x=-1\) и \(x=\frac74\).

б) Отберём корни на промежутке \([-\sqrt2;\log_5 11]\).

Проверим \(x=\frac74\).

Так как \(\frac74>\frac32\), то

\(\frac74>\frac32=\log_5 5^{3/2}\).

\(5^{3/2}=\sqrt{125}\).

Так как \(125>121\), то

\(\sqrt{125}>\sqrt{121}=11\).

Следовательно,

\(\frac74>\log_5\sqrt{125}>\log_5 11\).

Значит, \(x=\frac74\) не принадлежит заданному промежутку.

Проверим \(x=-1\).

Так как \(\sqrt2>1\), то

\(-\sqrt2<-1\).

Также:

\(-1=\log_5\frac15\).

Так как \(\frac15<11\), то

\(-1=\log_5\frac15<\log_5 11\).

Получаем:

\(-\sqrt2<-1<\log_5 11\).

Следовательно, \(x=-1\) принадлежит заданному промежутку.

Ответ: а) \(-1;\ \frac74\).

б) \(-1\).

Задание №51445 ЕГЭ по Математике