Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи №9 из сборника И. В. Ященко ЕГЭ

\(\text{Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана--Больцмана, согласно которому}\) \(P = \sigma S T^{4},\) \(\text{где } P \text{ — мощность излучения звезды (в ваттах)},\) \(\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^{2} \cdot \text{К}^{4}} \text{ — постоянная},\) \(S \text{ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах)},\) \(T \text{ — температура (в кельвинах)}.\) \(\text{Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна}\) \(S = \frac{1}{648} \cdot 10^{20}\ \text{м}^{2},\) \(\text{а мощность её излучения равна}\) \(P = 1{,}824 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}.\) \(\text{Найдите температуру этой звезды в кельвинах.}\)

\(\text{В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора } C = 2 \cdot 10^{-6}\ \text{Ф}\). \(\text{Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением } R = 6 \cdot 10^{6}\ \text{Ом}.\) \(\text{Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе } U_0 = 10\ \text{кВ}.\) \(\text{После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения } U\ \text{(кВ)} \text{ за время, определяемое выражением}\) \(t = \alpha RC \log_2 \frac{U_0}{U}\ \text{(с)},\) \(\text{где } \alpha = 0{,}7 \text{ — постоянная.}\) 

\(\text{Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло } 16{,}8\ \text{с}.\) \(\text{Ответ дайте в киловольтах.}\)

\(\text{В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран.}\) \(\text{После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону}\) \(H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \frac{g}{2}k^2t^2,\) \(\text{где } t \text{ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,}\) \(H_0 = 5\ \text{м} \text{ — начальная высота столба воды,}\) \(k = \frac{1}{700} \text{ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака,}\) \(\text{а } g \text{ — ускорение свободного падения (считайте } g = 10\ \text{м}/\text{с}^2\text{).}\) \(\text{Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?}\) 

\(\text{На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины.}\) \(\text{Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:}\) \(F_A = \rho g l^3,\) \(\text{где } \rho = 1000\ \text{кг}/\text{м}^3 \text{ — плотность воды,}\) \(g \text{ — ускорение свободного падения (считайте } g = 9{,}8\ \text{Н}/\text{кг}\text{),}\) \(\text{а } l \text{ — длина ребра куба в метрах.}\) \(\text{Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше чем }\)\(893025\ \text{Н}?\)\(\text{Ответ дайте в метрах.}\)

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h= 5t^2,\) где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,3 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ дайте в метрах.

\(\text{Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью } v = 3{,}6\ \text{м/с} \text{ под острым углом } \alpha \text{ к рельсам.}\) \(\text{От толчка платформа начинает ехать со скоростью}\) \(u = \frac{m}{m + M} v \cos \alpha\ \text{(м/с)},\)\(\text{где } m = 75\ \text{кг} \text{ — масса скейтбордиста со скейтом, а } M = 375\ \text{кг} \text{ — масса платформы.}\) \(\text{Под каким максимальным углом } \alpha \text{ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до } 0{,}3\ \text{м/с}?\)

\(\text{Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением } a = 6250\ \text{км/ч}^2.\) \(\text{Скорость } v \text{ вычисляется по формуле } v = \sqrt{2la},\) \(\text{где } l \text{ — пройденный автомобилем путь.}\) \(\text{Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости } 100\ \text{км/ч}.\)

\(\text{Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне } T_{\text{п}} = 25^{\circ}\text{C}, \text{ через радиатор отопления пропускают горячую воду.}\) \(\text{Расход проходящей через трубу радиатора воды } m = 0{,}5\ \text{кг/с}.\) \(\text{Проходя по трубе расстояние } x, \text{ вода охлаждается от начальной температуры } T_{\text{в}} = 81^{\circ}\text{C} \text{ до температуры } T, \text{ причём}\) \(x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_{2} \frac{T_{\text{в}} - T_{\text{п}}}{T - T_{\text{п}}},\) \(\text{где } c = 4200\ \frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{кг} \cdot {}^{\circ}\text{C}} \text{ — теплоёмкость воды,}\) \(\gamma = 42\ \frac{\text{Вт}}{\text{м} \cdot {}^{\circ}\text{C}} \text{ — коэффициент теплообмена,}\) \(\alpha = 1{,}1 \text{ — постоянная.}\) \(\text{Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна } 110\ \text{м}.\)

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой

где \(T_1\) — температура нагревателя (в кельвинах), \(T_2\) — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре \(T_1\) нагревателя КПД этого двигателя будет 25%, если температура холодильника \(T_2=336K?\) Ответ дайте в кельвинах.

\(\text{Груз массой } 0{,}58\ \text{кг колеблется на пружине.}\) \(\text{Его скорость } V \text{ меняется по закону}\) \(v = v_{0} \sin \frac{2\pi t}{T},\) \(\text{где } t \text{ — время с момента начала колебаний,}\) \(T = 6\ \text{с} \text{ — период колебаний,}\) \(v_{0} = 2\ \text{м/с}.\) \(\text{Кинетическая энергия } E \text{ (в джоулях) груза вычисляется по формуле}\) \(E = \frac{mv^{2}}{2},\) \(\text{где } m \text{ — масса груза в килограммах, } v \text{ — скорость груза в м/с.}\) \(\text{Найдите кинетическую энергию груза через } 4 \text{ секунды после начала колебаний.}\) \(\text{Ответ дайте в джоулях.}\)

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте h км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l = \sqrt{2Rh}\), где \(R = 2400\) км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии 8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 километров?

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}},\)  где \(m_0\) — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 48 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения (кВ) за время, определяемое выражением (с), где — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 84 с. Ответ дайте в киловольтах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}2k^2t^2\), где \(t\) – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0=5\)м – начальная высота столба воды, \(k=\frac1{700}\) – отношение площадей попереченых сечений крана и бака, а \(g\) ускорение свободного падения (считайте \(g=10\space\textrm{м/с}^2\)). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?