Задания ЕГЭ по математике: Стереометрия
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен \(57\).
В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB\) равна 16, высота \(SH\) равна 9. Точка \(K\) — середина бокового ребра а точка N — середина ребра \(BC.\)Плоскость, параллельная плоскости \((ABC),\) проходит через точку \(K\) и пересекает рёбра \(SB\) и \(SC\) в точках \(Q\) и \(P\) соответственно.
a) Докажите, что прямая \(QP\) пересекает отрезок \(SN\) в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями \((ABC)\) и\((AQP).\)
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(AB=9\), \(BC=7\), \(AA_1=6\). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(A\), \(B\), \(C\), \(B_1\).
Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.
В правильном тетраэдре \(ABCD\) все рёбра равны \(6\). На рёбрах \(AB\) и \(AD\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно так, что \(AM = AK = 4\).
а) Докажите, что плоскость \(CMK\) делит тетраэдр \(ABCD\) на два многогранника, объёмы которых относятся как \(5:4\).
б) Найдите косинус угла между прямой \(AC\) и плоскостью \(CMK\).
Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны \(\frac{2}{\pi}\). Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен \(2\sqrt{3}\), а высота равна 2.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объём параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра.
Цилиндр и конус имеют общие основания и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(5\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57.
Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующаяся конуса равна \(50\sqrt{2}\). Найдите радиус сферы.
