Заметим, что сумма корней уравнения $t^{2}-(a+9)t+2a(9-a)=0$ равна $a+9$ , а их произведение равно $2a(9-a)$ . Поэтому корни — числа $2a$ и $9-a$ . Тогда для исходного уравнения имеем:

$\begin{cases} x+\dfrac{1}{x-a}=2a,\\[6pt] x+\dfrac{1}{x-a}=9-a \end{cases} \;\;\Longleftrightarrow\;\; \begin{cases} x-a+\dfrac{1}{x-a}=a,\\[6pt] x-a+\dfrac{1}{x-a}=9-2a \end{cases}$

Каждое из уравнений совокупности может иметь не более двух корней. Для того, чтобы исходное уравнение имело четыре корня, каждое из уравнений совокупности должно иметь по два корня и при этом уравнения не должны совпадать.
Заметим, что если два взаимно обратных числа $y$ и $\dfrac{1}{y}$ различны, то $\left|\,y+\dfrac{1}{y}\,\right|>2.$

Используя это свойство, получаем, что четыре корня исходное уравнение будет иметь при

$\begin{cases} a<-2,\\ a>2,\\ 9-2a<-2,\\ 9-2a>2,\\ a\neq 9-2a \end{cases} \;\;\Longleftrightarrow\;\; \begin{cases} a<-2,\\ a>2,\\ a>\tfrac{11}{2},\\ a<\tfrac{7}{2},\\ a\neq 3 \end{cases} \;\;\Longleftrightarrow\;\; \begin{cases} a<-2,\\ 2<a<3,\\ 3<a<\tfrac{7}{2},\\ a>\tfrac{11}{2}. \end{cases}$

Ответ: $(-\infty;\,-2)\,\cup\,(2;\,3)\,\cup\,\left(3;\,\tfrac{7}{2}\right)\,\cup\,\left(\tfrac{11}{2};\,+\infty\right).$

Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи, решающиеся аналитически