Уравнение равносильно (так как $p>0,\ p\ne1$ )

$\left\{ \begin{array}{l} x^2-8x+(a+2)(6-a)=0\\ x^2+a^2<25\\ x^2+a^2\ne20\\ x>-1 \end{array} \right.\ \Leftrightarrow\ \left\{ \begin{array}{l} a=x-2\\ a=6-x\\ x^2+a^2<25\\ x^2+a^2\ne20\\ x>-1 \end{array} \right.$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству $S$ , то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$ , то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a_0$ параметра $a$ , при каждом из которых хотя бы одна из точек вида $(x_0;a_0)$ , $x_0\in\mathbb{R}$ принадлежит множеству решений $S$ , изображенному на плоскости $xOa$ . Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет хотя бы одну точку пересечения с множеством $S$ .
Найдем точку пересечения прямых:

$\left\{ \begin{array}{l} a=x-2\\ a=6-x \end{array} \right.\ \Leftrightarrow\ \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ a=2 \end{array} \right.\ \Rightarrow\ C(4;2)$

Точки пересечения прямой $a=x-2$ и окружности $x^2+a^2=25$ :

$\left\{ \begin{array}{l} a=x-2\\ x^2+a^2=25 \end{array} \right.\ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{2-\sqrt{46}}{2}\\ a=\frac{-2-\sqrt{46}}{2} \end{array} \right.\\[10pt] \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{2+\sqrt{46}}{2}\\ a=\frac{-2+\sqrt{46}}{2} \end{array} \right. \end{array} \right]\ \Rightarrow\ N\left(\frac{2+\sqrt{46}}{2};\frac{-2+\sqrt{46}}{2}\right)$

Точки пересечения прямой $a=6-x$ и окружности $x^2+a^2=25$ :

$\left\{ \begin{array}{l} a=6-x\\ x^2+a^2=25 \end{array} \right.\ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{6-\sqrt{14}}{2}\\ a=\frac{6+\sqrt{14}}{2} \end{array} \right.\\[10pt] \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{6+\sqrt{14}}{2}\\ a=\frac{6-\sqrt{14}}{2} \end{array} \right. \end{array} \right]\ \Rightarrow\ A\left(\frac{6-\sqrt{14}}{2};\frac{6+\sqrt{14}}{2}\right),\ M\left(\frac{6+\sqrt{14}}{2};\frac{6-\sqrt{14}}{2}\right)$

Точки пересечения прямой $a=x-2$ и окружности $x^2+a^2=20$ :

$\left\{ \begin{array}{l} a=x-2\\ x^2+a^2=20 \end{array} \right.\ \Leftrightarrow\ \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ a=2\\ x=-2\\ a=-4 \end{array} \right.\ \Rightarrow\ C(4;2)$

Точки пересечения прямой $a=6-x$ и окружности $x^2+a^2=20$ :

$\left\{ \begin{array}{l} a=6-x\\ x^2+a^2=20 \end{array} \right.\ \Leftrightarrow\ \left\{ \begin{array}{l} x=2\\ a=4\\ x=4\\ a=2 \end{array} \right.\ \Rightarrow\ B(2;4),\ C(4;2)$

Точки пересечения прямой $x=-1$ и окружности $x^2+a^2=25$ :

$\left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ x^2+a^2=25 \end{array} \right.\ \Rightarrow\ F(-1;2\sqrt6),\ G(-1;-2\sqrt6)$

Точки пересечения прямой $x=-1$ и окружности $x^2+a^2=20$ :

$\left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ x^2+a^2=20 \end{array} \right.\ \Rightarrow\ H(-1;\sqrt{19}),\ I(-1;-\sqrt{19})$

$S$ : это множество точек прямых $a=x-2$ и $a=6-x$ , которые лежат в голубой области.

$J(-1;-3)$ — точка пересечения прямой $x=-1$ и прямой $a=x-2$ .
Таким образом, все розовые положения горизонтальной прямой $a=a_0$ — это те положения, при которых она НЕ имеет общих точек со множеством $S$ .
Прямая $k$ : $a_A=\frac{6+\sqrt{14}}{2}$ ,
прямая $l$ : $a_B=4$ ;
прямая $c$ : $a_C=2$ ;
прямая $j$ : $a_J=-3$ .
Следовательно, ответ $a\in(a_J;a_C)\cup(a_C;a_B)\cup(a_B;a_A)$ или

$a\in(-3;2)\cup(2;4)\cup\left(4;\frac{6+\sqrt{14}}{2}\right).$

Ответ: $a\in(-3;2)\cup(2;4)\cup\left(4;\frac{6+\sqrt{14}}{2}\right)$

Задания для подготовки к ЕГЭ Метод xOa