Задания для подготовки к ЕГЭ Расстояние от точки до плоскости

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AB\). Через вершины \(A_1\), \(C_1\) и середину ребра \(AB\) проведена плоскость \(\alpha\).
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \(\alpha\) будет прямоугольная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если высота призмы равна \(12\), \(AB=10\sqrt{2}\).

В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит параллелограмм \(ABCD\) с углом \(60^\circ\) при вершине \(A\). На ребрах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\), \(K\) и \(N\) соответственно так, что \(AMKN\) — равнобедренная трапеция с основаниями \(3\) и \(6\). Известно, что точка \(K\) делит ребро \(B_1C_1\) в отношении \(3:4\), считая от вершины \(B_1\).
а) Докажите, что \(A_1M=MB_1=B_1K\).
б) Найдите высоту призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), если её объем равен \(7\).

В основании пирамиды с вершиной \(S\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB=9\) и \(BC=12\). Все боковые ребра пирамиды равны \(7,5\sqrt2\). На ребрах \(BC\) и \(AD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно так, что \(BM=\frac{21}{8}=DN\). Плоскость сечения проходит через точки \(M\) и \(N\) перпендикулярно ребру \(AS\).
а) Докажите, что плоскость сечения пересекает ребро \(AS\) в его середине.
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости сечения.

На ребрах \(CD\) и \(BB_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(12\) отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причем \(DP=4\), \(B_1Q=3\). Плоскость \((APQ)\) пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(M\).
а) Докажите, что точка \(M\) является серединой ребра \(CC_1\).
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \((APQ)\).

Все ребра призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равны между собой. Углы \(BAA_1\) и \(CAA_1\) равны \(60^\circ\) каждый. Найдите расстояние от точки \(C_1\) до плоскости \(CA_1B_1\), если площадь грани \(ABB_1A_1\) равна \(8\sqrt3\).

Расстояния от концов отрезка до некоторой плоскости равны \(1\) и \(3\). Чему может быть равно расстояние от середины этого отрезка до той же плоскости?

На ребрах \(CD\) и \(BB_1\) куба \(A...D_1\) с ребром \(12\) отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причем \(DP=4\), \(B_1Q=3\). Плоскость \(APQ\) пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(M\).
а) Докажите, что \(M\) — середина \(CC_1\).
б) Найдите расстояние от \(C\) до плоскости \(APQ\).

Дана треугольная пирамида \(SABC\), причем грани \(SAB\) и \(SAC\) представляют собой равные равнобедренные треугольники с прямыми углами при вершине \(A\). Найдите расстояние от точки \(A\) до грани \(SBC\), если высота пирамиды равна \(h\) и равна \(BC\).

\(ABCD\) – правильный тетраэдр с ребром \(6\). \(M, N, K\) – такие точки на ребрах \(AB, AD, CD\) соответственно, что \(AM=MB\), \(DN=2NA=CK\). Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(P\). Найдите расстояние от точки \(P\) до плоскости \(ACD\).

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\) с вершиной \(S\). Через точку пересечения диагоналей основания провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно ребру \(SA\). Найдите расстояние от точки \(N\) до плоскости \(\alpha\), если \(N\) — середина \(AD=2\sqrt{2}\), а высота пирамиды равна \(11\).

Дана треугольная призма \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\). Точка \(M\) — середина ребра \(AA_{1}\). Плоскость \(\alpha\) проходит через ребро \(BB_{1}\) и перпендикулярна прямой \(CM\).
а) Докажите, что одна из диагоналей грани \(AA_{1}C_{1}C\) равна одной из ее сторон.
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(\alpha\) делит ребро \(AC\) в отношении \(1:5\), считая от точки \(A\), \(AC=20\) и \(AA_{1}=32\).

Найдите расстояние от точки \(M(10;0;0)\) до прямой, проходящей через точки \(B(0;0;0)\) и \(C(8;6;0)\).

В прямой треугольной призме \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) известны боковое ребро \(AA_{1}=5\), ребро \(AC=4\) основания \(ABC\) и угол \(\angle ACB=120^\circ\). Найдите расстояние между серединой ребра \(AC\) и прямой \(B_{1}C_{1}\).

Прямая \(OK\) перпендикулярна к плоскости ромба \(ABCD\), диагонали которого пересекаются в точке \(O\).
а) Докажите, что расстояния от точки \(K\) до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.
б) Найдите это расстояние, если \(OK=4,5\), \(AC=6\), \(BD=8\).

Через вершину прямого угла \(C\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) проведена прямая \(CM\), перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\), если \(AC = 4\), а \(CM = 2\sqrt{7}\).