Задания ЕГЭ по математике: Построение сечений
Дана правильная шестиугольная пирамида \(SABCDEF\), сторона основания которой равна \(a=4\), боковое ребро \(b=7\), \(SO\) – высота. Через точку \(L\) \((SL:LO=3:1)\) проведена плоскость \(\alpha\) параллельно грани \(SAB\).
а) Доказать, что плоскость \(\alpha\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(K\), где \(SK:KD=3:5\).
б) Найти площадь сечения пирамиды плоскостью \(\alpha\).
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона основания \(AB=6\), а боковое ребро \(AA_1=5\). На ребре \(CC_1\) взята точка \(K\) так, что \(CK:KC_1=1:4\), а на ребре \(A_1C_1\) взята точка \(M\) так, что \(A_1M:MC_1=1:2\).
а) Докажите, что плоскость \(BKM\) делит ребро \(A_1B_1\) в отношении \(2:5\), считая от точки \(A_1\).
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(BKM\).
Дана правильная шестиугольная призма \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\), \(C_1\) и \(D_1\).
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью \(\alpha\) является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что \(AB=BB_1=10\).
\(SABCD\) – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат \(ABCD\), а две боковые грани \(SAB\) и \(SAD\) представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом \(\angle A\).
1) Проведите плоскость \(\alpha\) через точку пересечения диагоналей основания параллельно грани \(SBC\).
2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(\alpha\), если \(SA=AB=a\).
Ребра \(DA, DB, DC\) пирамиды \(ABCD\) попарно перпендикулярны. \(AB=AC=BC=7\sqrt{2}\).
а) Докажите, что пирамида правильная.
б) Найдите площадь сечения \(BMN\), если точки \(M\) и \(N\) лежат на ребрах \(DA\) и \(DC\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=4:3\).
Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\).
а) Проведите плоскость через середину ребра \(AC\) и точки пересечения медиан граней \(ASB\) и \(CSB\).
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если \(AB=21\), \(AS=12\sqrt{2}\).
Дана треугольная пирамида \(ABCD\), \(M\) — точка пересечения медиан грани \(ABC\). Постройте точку пересечения прямой, проходящей через точку \(B\) и середину отрезка \(DM\), с плоскостью \(ACD\).
Дан параллелепипед \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Точка \(M\) лежит на ребре \(DD_{1}\). Постройте точку пересечения прямой \(DB_{1}\) с плоскостью \(AMC\).
Дана треугольная пирамида \(ABCD\). Точки \(K\), \(L\) и \(M\) лежат на ребрах \(AB\), \(BC\) и \(CD\) соответственно. Постройте точку пересечения прямой \(KM\) с плоскостью \(ALD\).
Дана треугольная пирамида \(ABCD\). Точка \(M\) лежит на ребре \(BC\), причем \(BM:MC=1:2\). Постройте точку пересечения прямой, проходящей через точку \(M\) и середину ребра \(CD\), с плоскостью \(ABD\).
Дан параллелепипед \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Точки \(K\), \(L\) и \(M\) лежат на ребрах \(AD\), \(CD\) и \(BB_{1}\) соответственно. Постройте прямую пересечения плоскостей \((KLM)\) и \((BB_{1}D_{1}D)\), а также сечение параллелепипеда плоскостью \((KLM)\).
Четырехугольник \(ABCD\) — основание пирамиды \(SABCD\). Постройте прямую пересечения плоскостей \(ASB\) и \(CSD\).
Плоскость \(\alpha\) пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость \(\beta\), параллельная плоскости \(\alpha\), касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.
a) Докажите, что площадь поверхности меньшего шара не меньше, чем 32.
6) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью \(\alpha\).
В правильном тетраэдре \(ABCD\) точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KM\) и параллельна прямой \(AD\).
а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью \(\alpha\) — квадрат.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если \(AB=23\).
На ребре \(BB_1\) правильной четырехугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечена точка \(Q\), причем \(BQ:QB_1=2:7\). Через точки \(Q\) и \(A\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная прямой \(BD\) и пересекающая ребро \(CC_1\) в точке \(M\).
а) Докажите, что \(C_1M:CC_1=5:9\).
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha\), если \(BC=3\sqrt2,BB_1=18\).