1) Пусть $AC\cap BD=O$ . Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Заметим, что так как $\angle SAB=\angle SAD=90^\circ$ , то $SA\perp (ABC)$ .

Проведем в плоскости $SAC$ прямую $OK\parallel SC$ . Т.к. $O$ – середина $AC$ , то по теореме Фалеса $K$ – середина $SA$ . Через точку $K$ в плоскости $SAB$ проведем $KM\parallel SB$ (следовательно, $M$ – середина $AB$ ). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые $OK$ и $KM$ , и будет искомой плоскостью.

Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки $O$ и $M$ , получим прямую $MN$ .

Так как $\alpha \parallel (SBC)$ , то $\alpha$ пересечет плоскость $SCD$ по прямой $NP\parallel SC$ (если $NP\cap SC\ne \varnothing$ , то $\alpha\cap (SBC)\ne \varnothing$ , что невозможно ввиду их параллельности).

Таким образом, $KMNP$ – искомое сечение, причем $KP\parallel AD \parallel MN \Rightarrow$ это трапеция.

2) Так как все точки $K, M, N, P$ – середины отрезков $SA, AB, CD, SD$ соответственно, то:

а) $MN=AD=a$

б) $KP=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{a}{2}$

в) $KM=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах $SB\perp BC \Rightarrow KM\perp MN$ . Таким образом, $KMNP$ – прямоугольная трапеция.

$S_{KMNP}=\frac{KP+MN}{2}\cdot KM=\frac{3\sqrt{2}}{8}a^2$

$\textbf{Ответ:}$
1) Рисунок.
2) $\dfrac{3\sqrt{2}}{8}a^2$

Задания для подготовки к ЕГЭ Построение сечений