Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\).
б) Вычислите длину стороны \(BC\) и радиус данной окружности, если \(\angle A=45^\circ\), \(B_1C_1=6\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в восемь раз меньше площади четырехугольника \(BCB_1C_1\).

Точки \(P\), \(Q\), \(W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4\), радиус окружности, описанной около треугольника \(PQW\), равен \(10\), \(PQ = 16\), \(QW = 12\), угол \(PWQ\) — острый.
а) Докажите, что треугольник \(PQW\) — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).

Диагонали равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны. Окружность с диаметром \(AD\) пересекает боковую сторону \(CD\) в точке \(M\), а окружность с диаметром \(CD\) пересекает основание \(AD\) в точке \(N\). Отрезки \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(P\).
а) Докажите, что в четырёхугольник \(ABCP\) можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если \(BC=7\), \(AD=17\).

Дан треугольник \(ABC\). Серединный перпендикуляр к стороне \(AB\) пересекается с биссектрисой угла \(BAC\) в точке \(K\), лежащей на стороне \(BC\).
а) Докажите, что \(AC^2 = BC \cdot CK\).
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(AKB\), если \(\cos \angle B = \frac{2}{3}\), \(AC = 36\), а площадь треугольника \(AKC\) равна \(126\sqrt{5}\).

Прямая, проходящая через вершину \(B\) прямоугольника \(ABCD\) перпендикулярно диагонали \(AC\), пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\), равноудалённой от вершин \(B\) и \(D\).
а) Докажите, что \(\angle ABM=\angle DBC=30^\circ\).
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой \(CM\), если \(BC=9\).

Параллелограмм \(ABCD\) и окружность расположены так, что сторона \(AB\) касается окружности, \(CD\) является хордой, а стороны \(DA\) и \(BC\) пересекают окружность в точках \(P\) и \(Q\) соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника \(ABQP\) можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка \(DQ\), если известно, что \(AP=a\), \(BC=b\), \(BQ=c\).

Прямая, проходящая через середину \(M\) гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\), перпендикулярна \(CM\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\). При этом \(AK : KC = 1 : 2\).
а) Докажите, что \(\angle BAC = 30^\circ\)
б) Пусть прямые \(MK\) и \(BC\) пересекаются в точке \(P\), а прямые \(AP\) и \(BK\) — точке \(Q\). Найдите \(KQ\), если \(BC = 2\sqrt{3}\).

Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB=CD=3,\ BC=DE=4\).
а) Докажите, что \(AC=CE\).
б) Найдите длину диагонали \(BE\), если \(AD=6\).

Дан прямоугольник \(ABCD\). Известно, что \(CD=3AD\). Точка \(M\) — середина его стороны \(AD\). На стороне \(CD\) отмечена точка \(N\). Известно, что \(CN=2ND\). Точка \(K\) — середина отрезка \(CM\).
а) Докажите, что точки \(B\), \(N\) и \(K\) лежат на одной прямой.
б) Найдите \(KN\), если известно, что \(AD=4\).

В трапеции \(ABCD\) точка \(E\) — середина основания \(AD\), точка \(K\) — середина боковой стороны \(AB\). Отрезки \(CE\) и \(DK\) пересекаются в точке \(O\).
а) Докажите, что площади четырёхугольника \(AKOE\) и треугольника \(COD\) равны.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника \(AKOE\) к площади трапеции \(ABCD\), если \(BC=3,\ AD=4\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) проведена высота \(CH\) из вершины прямого угла, \(AM\) и \(CN\) — биссектрисы треугольников \(ACH\) и \(BCH\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(AM\) и \(CN\) перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка \(MN\), если \(BC=26\) и \(\sin\angle ABC=\frac{4}{9}\).

Дан ромб \(ABCD\). На диагонали \(AC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что \(AM=MN=NC\). Прямая \(BM\) пересекает сторону \(AD\) в точке \(P\), а прямая \(BN\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(Q\).
а) Докажите, что площадь четырехугольника \(BPDQ\) равна площади треугольника \(ADC\).
б) Найдите \(BD\), если известно, что \(AC=2\sqrt5\) и около пятиугольника \(MNQDP\) можно описать окружность.

В четырёхугольник \(KLMN\) вписана окружность с центром в точке \(O\). Эта окружность касается стороны \(MN\) в точке \(A\). Известно, что \(\angle MNK = 90^\circ, \angle NKL = \angle KLM = 120^\circ\). 

а) Докажите, что точка \(A\) лежит на прямой \(LO\). 

б) Найдите длину стороны \(MN\), если \(LA = 3\).

Дан параллелограмм \(ABCD\) c острым углом \(DAB\). В нем опущены высоты \(BP\) и \(BQ\) на стороны \(AD\) и \(CD\) соответственно. На стороне \(AD\) отмечена точка \(M\) так, что \(AM=BP.\) Известно, что \(AB=BQ.\)

а) Докажите, что \(BM=PQ.\)

б) Найдите площадь треугольника \(APQ,\) если \(AM=BP=21,\ AB=BQ=29.\)

В треугольнике \(ABC\) проведены высота \(AH\) и медиана \(AM\), угол \(ACB\) равен \(30^\circ\). Точка \(H\) лежит на отрезке \(BM\). В треугольнике \(ACM\) проведена высота \(MQ\). Прямые \(MQ\) и \(AH\) пересекаются в точке \(F\). Известно, что AM — биссектриса угла \(HAC\).

а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника \(CFM\), если \(AB=6\).