Задания для подготовки к ЕГЭ Признаки подобия треугольников
В тупоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) тупой. Точка \(P\) лежит вне треугольника \(ABC\). \(BP\) и \(CP\) — перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\) соответственно, причём \(CP\) пересекает сторону \(AB\). Высота \(CH\) треугольника \(ACP\) пересекает отрезок \(AB\) в точке \(K\).
а) Докажите, что острые углы \(ABC\) и \(ACH\) равны.
б) Найдите длину стороны \(AC\), если \(AK=6\), \(BK=18\).
Дан треугольник \(ABC\), на стороне \(BC\) которого взята точка \(E\) так, что \(BE=AB\), а на стороне \(AC\) взята точка \(D\) так, что \(AD=DE\). На стороне \(AC\) также взята точка \(F\) так, что \(EF \parallel BD\).
а) Докажите, что \(CF\cdot AB=AD\cdot CE\).
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если известно, что \(\angle AED=\angle CEF=30^\circ\) и \(CL=6\), где \(L\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(ED\).
В треугольник АВС вписана окружность, которая касается АВ в точке Р. Точка М – середина стороны АВ.
а) Докажите, что \(MP=\frac{|BC-AC|}{2}.\)
б) Найдите углы треугольника АВС, если известно, что длина отрезка МР равна половине радиуса вписанной в треугольник АВС окружности, BC > AC, а отрезки МС и МА равны.
Две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках \(A\) и \(B\).
Через точку \(A\) проведена прямая \(MK\) пересекающая обе окружности в точках \(M\) и \(K\), причём точка \(A\) находится между ними.
а) Докажите, что треугольники \(BMK\) и \(O_1AO_2\) подобны.
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \(MK\), если \(O_1O_2=5,MK=7\).
\(ACDE\) и \(BFKC\) – квадраты, построенные на катетах прямоугольного треугольника \(ABC\) вне треугольника. \(CM\) – медиана прямоугольного треугольника \(ABC\), опущенная к гипотенузе. Прямая \(CM\) пересекает \(DK\) в точке \(H\).
а) Докажите, что \(CH=DH\cdot HK\).
б) Катеты треугольника \(ABC\) равны 130 и 312. Найдите \(MH\).
Вокруг квадрата \(KCMN\) описан прямоугольный треугольник \(ABC\) так, что \(K\in AC,N\in AB, M\in BC\). На гипотенузе \(AB\) отмечены точки \(T\) и \(R\), на катетах \(AC,CB\) отмечены точки \(P,Q\) соответственно. Известно, что четырехугольник \(TPQR\) – квадрат.
а) Докажите, что вершина прямоугольного треугольника \(C\) и центры квадратов \(KCMN,TPQR\) лежат на одной прямой.
б) Известно, что \(AC=5,BC=12\). Чему равна длина стороны квадрата \(TPQR\)?
Дан квадрат \(ABCD\). На стороне \(BC\) отмечена точка \(E:BE=EC\). Точка \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам \(AE\) и \(EC\).
а) Докажите, что угол \(AOE\) прямой.
б) Найдите отношение отрезка \(BO\) к \(OD\).
В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) отмечена точка \(E\) так, что \(CE=ED\). Из вершины \(C\) параллельно прямой \(AE\) проведена прямая, пересекающая боковую сторону трапеции \(AB\) в точке\(K\). Пересечение отрезков \(CK\) и \(BE\) обозначено точкой \(O\).
а) Докажите, что \(CO=KO\).
б) Известно, что площадь треугольника \(BCK\) составляет \(\frac9{100}\) площади трапеции \(ABCD\). Найдите отношение оснований \(BCAD\).
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(CM\). На них из точек \(M\) и \(K\) опущены перпендикуляры \(ME\) и \(KH\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(EH\) и \(AC\) параллельно.
б) Найдите отношение \(EH\) и \(AC\), если \(\angle ABC=30°\).
