Пусть $D_1$ — точка, симметричная точке $D$ относительно $F$ . Тогда $FD = FD_1$ и $CDBD_1$ — параллелограмм (так как диагонали четырехугольника $BDCD_1$ делят друг друга пополам).

В треугольнике $FDB$ стороны $BD$ и $BF$ равны, следовательно, $\angle FDB = \angle BFD$ . Кроме того, $\angle EDA = \angle CDD_1$ как вертикальные, $\angle CDD_1 = \angle BD_1D$ как накрест лежащие при параллельных прямых $CD$ и $D_1B$ и секущей $DD_1$ .
Треугольники $ABF$ и $D_1BD$ равны по углу $(\angle BFA = \angle D_1DB)$ и прилежащим к нему сторонам $(FB = DB, FA = DD_1)$ , следовательно, $\angle FAB = \angle BD_1D$ . Итого, получили следующую цепочку равенств углов

$\angle EDA = \angle CDD_1 = \angle BD_1D = \angle FAB$

Тогда в треугольнике $AED$ углы при вершинах $A$ и $D$ равны и $AE = DE$ .

$\textbf{Второе решение.}$
Задачу можно решить без удвоения медианы, если обратить внимание на треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CFD$ .
В этих треугольниках углы $\angle ADB$ и $\angle CFD$ равны как дополняющие равные по условию углы $\angle FDB$ и $\angle DFB$ до развернутого угла. Кроме того, $BD = CF$ и $AD = DF$ по условию.
Тогда треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CFD$ равны по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда лежащие напротив равных сторон углы $\angle CDF$ и $\angle DAB$ равны и с привлечением равных вертикальных углов $\angle CDF$ и $\angle ADE$ получаем равные углы в треугольнике $\triangle ADE$ и требуемое равенство $AE = DE$ .

Задания для подготовки к ЕГЭ Медиана и удвоение медианы