$\textbf{а)}$ Пусть число в первой группе равно 1, число во второй группе равно 2, число в третьей группе равно 9. Сумма чисел до изменений равна 1+2+9=12. После изменений на доске оказались числа 11, 28 и 9. Их сумма равна $11+28+9=48=4\cdot 12$ .

$\textbf{б)}$ Пусть сумма всех чисел в первой группе до изменений равна A, а количество чисел равно m, сумма всех чисел во второй группе до изменений — B, а количество n, сумма всех чисел в третьей группе — C. Если к числу a приписать справа цифру $t$ , то оно станет равным $10a+t$ . Тогда после изменений сумма всех чисел в первой группе стала $10A+m$ , так как единица прибавилась столько раз, сколько была приписана единица справа, то есть $m$ раз. Аналогично сумма чисел во второй группе стала $10B+8n$ , в третьей группе осталась C. Тогда

$10A+m+10B+8n+C = 18(A+B+C)$ $8A+8B+17C = m+8n$

Сумма чисел не меньше, чем их количество, поэтому $8A \ge 8m, 8B \ge 8n$ . Так как $C \ge 1$ , то

$8A+8B+17C \ge 8m+8n+17 > m+8n.$

Значит, такое невозможно.

$\textbf{в)}$ Рассмотрим отношение Q получившейся суммы к изначальной:

$Q=\frac{10A+m+10B+8n+C}{A+B+C} =\frac{10(A+B+C)+m+8n-9C}{A+B+C} =10+\frac{m+8n-9C}{A+B+C}.$

Будем максимизировать Q, то есть максимизировать значение дроби

$\frac{m+8n-9C}{A+B+C}.$

Если в первой группе больше одного числа, перенесём какое-нибудь число во вторую группу. Сумма всех чисел, то есть $A+B+C$ , от этого не изменится. В первой группе станет $m-1$ число, во второй $n+1$ , а дробь станет равной

$\frac{m-1+8(n+1)-9C}{A+B+C} =\frac{m+8n+7-9C}{A+B+C}.$

Таким образом, значение дроби увеличилось. Тогда если в первой группе не одно число, мы можем переносить их во вторую группу, пока не останется одно число, увеличивая каждый раз значение дроби. Значит, если Q — максимальное, то в первой группе одно число.

Пусть в третьей группе больше одного числа. Перенесём какое-нибудь число во вторую группу, при этом сумма всех чисел $A+B+C$ останется прежней. Пусть новая сумма чисел в третьей группе равна $C_1$ . Тогда $C_1 < C$ , следовательно, $-9C_1 > -9C$ . Количество чисел во второй группе станет $n+1$ , а значит, новое значение дроби будет

$\frac{m+8(n+1)-9C_1}{A+B+C} =\frac{m+8n-9C_1+8}{A+B+C} >\frac{m+8n-9C}{A+B+C}.$

Таким образом, если Q максимально, то в третьей группе тоже одно число.

Тогда в первой и третьей группах по 1 числу, во второй группе k чисел (k — новое значение количества чисел во второй группе, после того, как числа из первой и третьей групп были перенесены во вторую), всего $k+2$ числа.

Оценим знаменатель. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби, а значит, больше значение Q. Значит, нужно минимизировать значение $A+B+C$ — сумму $k+2$ различных натуральных чисел, а она не меньше, чем сумма первых $k+2$ натуральных чисел. Значит,

$A+B+C \ge 1+2+\ldots+(k+1)+(k+2)=\frac{(k+2)(k+3)}{2}.$

Так как $C \ge 1$ , то

$Q=10+\frac{m+8n-9C}{A+B+C} \le 10+\frac{1+8k-9C}{\frac{(k+2)(k+3)}{2}} \le 10+\frac{1+8k-9}{\frac{(k+2)(k+3)}{2}}$ $=10+\frac{16(k-1)}{(k+2)(k+3)} =10+16\cdot\frac{k-1}{(k+2)(k+3)}.$

Пусть

$f(k)=\frac{k-1}{(k+2)(k+3)}.$

Найдём, при каком значении $k$ функция $f(k)$ принимает наибольшее значение. Так как $k$ — количество чисел, то будем рассматривать $f(k)$ только при натуральных $k$ . Рассмотрим разность

$f(k+1)-f(k)=\frac{k}{(k+3)(k+4)}-\frac{k-1}{(k+2)(k+3)} =\frac{k(k+2)-(k-1)(k+4)}{(k+2)(k+3)(k+4)} =\frac{4-k}{(k+2)(k+3)(k+4)}.$

Значит, $f(k+1)-f(k)>0$ при $k \le 3, f(k+1)-f(k)=0$ при $k=4$ , $f(k+1)-f(k)<0$ при $k \ge 5$ . Значит, наибольшее значение $Q$ будет при $k=4$ .

Найдём значение Q при $k=8, k=9$ :

$Q=10+16f(8)=10+16\cdot\frac{7}{10\cdot 11}=11\ \frac{1}{55}\ \ \text{при}\ k=8,$ $Q=10+16f(9)=10+16\cdot\frac{8}{11\cdot 12}=10\ \frac{32}{33}\ \ \text{при}\ k=9.$

При $k \ge 5$ функция убывает, значит, если $k \ge 9$ , то $Q<11$ . По условию $Q=11$ , значит, $k \le 8$ , а всего чисел не больше, чем $8+2=10$ .

Приведём пример, когда всего 10 чисел. Пусть в первой группе было написано число 2, в третьей группе число 1, а во второй числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. Тогда изначально сумма всех чисел была:

$2+(3+4+5+6+7+8+9+11)+1=56.$

После изменений числа стали: в первой группе 21, во второй группе 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 118, в третьей группе осталось число 1. Новая сумма равна

$21+(38+48+58+68+78+88+98+118)+1=$ $=21+(10\cdot 53+8\cdot 8)+1=616=56\cdot 11.$

Следовательно, наибольшее количество чисел равно 10.

$\textbf{Ответ:}$

а) Да

б) Нет

в) 10

Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет