Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?
в) Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2?

 Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй — 94, в третьей — 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй — 94, в третьей — 95, а в четвёртой — 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 101?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 15. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 8,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

На листочке написано более 100, но меньше 115 целых чисел. Среднее арифметическое чисел, меньших 13, равно -20, а среднее арифметическое чисел, больших 13, равно 35. Среднее арифметическое всех чисел, записанных на листочке, равно 7.
\(\textbf{а)}\) Сколько чисел записано на листочке?
\(\textbf{б)}\) Может ли чисел, больших 13, быть больше, чем чисел, меньших 13?
\(\textbf{в)}\) Какое наибольшее количество чисел, которые больше 13, может быть среди этих чисел, если известно, что есть хотя бы одно число, равное 13?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6 (возможно, только одна из этих цифр).
\(\textbf{а)}\) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?
\(\textbf{б)}\) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?
\(\textbf{в)}\) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

\(\textbf{На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.}\)
\(\textbf{а)}\) Может ли на доске быть 5 чисел?
\(\textbf{б)}\) Может ли на доске быть 6 чисел?
\(\textbf{в)}\) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа третьей группы оставили без изменений.
\(\textbf{а)}\) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
\(\textbf{б)}\) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
\(\textbf{в)}\) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Рассматриваются непостоянные бесконечные арифметические прогрессии \(a_1, a_2, ..., a_n, ...,\) состоящие из натуральных чисел. Пусть \(S_n\) — сумма первых n членов, \(S_1 = a_1\).
\(\textbf{а)}\) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что \(S_6 = 1980\)?
\(\textbf{б)}\) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что для некоторого натурального числа n имеют место равенства \(S_n = 350\) и \(S_{n+2} = 625\)?
\(\textbf{в)}\) Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых существует такая арифметическая прогрессия, что \(S_n = 625\)?
 

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
\(\textbf{а)}\) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
\(\textbf{б)}\) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
\(\textbf{в)}\) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, каждое из которых не превосходит 40. Одно или несколько из чисел на доске увеличили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 41, с доски стерли.
\(\textbf{а)}\) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?
\(\textbf{б)}\) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 14, а потом стало равно 7?
\(\textbf{в)}\) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 14?

\(\textbf{На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120.}\)
\(\textbf{а)}\) Может ли оказаться, что на доске написано число 230?
\(\textbf{б)}\) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14?
\(\textbf{в)}\) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

\(\textbf{На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).}\)
\(\textbf{а)}\) Может ли сумма этих чисел быть равна 107?
\(\textbf{б)}\) Может ли сумма этих чисел быть равна 289?
\(\textbf{в)}\) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?

На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: 1+1+111+11+11+1=136.

а) Можно ли получить сумму 132, если n=60?

б) Можно ли получить сумму 132, если n=80?

в) Для скольких значений n можно получить сумму 132?

На доске на­пи­са­но 10 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 7, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 21.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих чисел рав­нять­ся 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 16?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го всех де­ся­ти чисел.

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а)  Можно ли получить из числа 128 число 29?

б)  Можно ли получить из числа 128 число 31?

в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?