Задания ЕГЭ по математике: Пирамида
В правильном тетраэдре \(ABCD\) все рёбра равны \(6\). На рёбрах \(AB\) и \(AD\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно так, что \(AM = AK = 4\).
а) Докажите, что плоскость \(CMK\) делит тетраэдр \(ABCD\) на два многогранника, объёмы которых относятся как \(5:4\).
б) Найдите косинус угла между прямой \(AC\) и плоскостью \(CMK\).
В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды.
Объём треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию её основания проведена плоскость (см. рисунок). Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.
В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.
В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) боковое ребро \(SC\) равно 37, сторона основания равна \(35\sqrt{2}\). Найдите объём пирамиды.
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) с вершиной \(S\) точка \(O\) — центр основания, \(SO = 35\), \(SD = 37\). Найдите длину отрезка \(BD\).
Объём правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) равен 116. Точка \(E\) — середина ребра \(SB\). Найдите объём треугольной пирамиды \(EABC\).
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины \(A, B, C, D, D_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \(AB = 9, BC = 3, BB_1 = 8\).
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке P. Объем пирамиды равен 1, PS = 1. Найдите площадь треугольника ABC.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.
