a) Запишем уравнение в виде:

$\sin\left(x+\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)=\cos x+\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\sin x.$

Воспользуемся формулой синуса суммы:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$

Тогда уравнение примет вид:

$\sin x\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos x\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) =\cos x+\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\sin x$ $\Rightarrow \cos x\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos x \Rightarrow \cos x\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)=0.$

Отсюда

$\cos x=0 \quad \text{или}\quad \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$

1) $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$

2) $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1\Rightarrow x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ ,

$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-5\pi;\,-\frac{7\pi}{2}\right]$ с помощью двойных неравенств.

1) Для $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ :

$-5\pi\le \frac{\pi}{2}+\pi k\le -\frac{7\pi}{2} \Rightarrow -\frac{11\pi}{2}\le \pi k\le -4\pi \Rightarrow -\frac{11}{2}\le k\le -4.$

Отсюда $k=-5;\,-4$ . Тогда

$x=\frac{\pi}{2}-5\pi=-\frac{9\pi}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}-4\pi=-\frac{7\pi}{2}.$

2) Для $x=\frac{\pi}{3}+2\pi k$ :

$-5\pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi k\le -\frac{7\pi}{2} \Rightarrow -\frac{16\pi}{3}\le 2\pi k\le -\frac{23\pi}{6} \Rightarrow -\frac{8}{3}\le k\le -\frac{23}{12}.$

Отсюда $k=-2$ . Тогда

$x=\frac{\pi}{3}-4\pi=-\frac{11\pi}{3}.$

$\textbf{Ответ: }$

a)

$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}; \qquad x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$

б)

$-\frac{9\pi}{2},\ -\frac{11\pi}{3},\ -\frac{7\pi}{2}.$

Задания для подготовки к ЕГЭ Тригонометрические: сумма и разность синусов и косинусов