Угол между прямой и плоскостью не изменится при параллельном сдвиге прямой. Поскольку $CC_1\parallel AA_1$ , искомый угол $\phi$ есть угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABC_1$ .
Пусть – середина . Проведем высоту в треугольнике . Покажем, что – перпендикуляр к плоскости . Для этого нужно предъявить две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные :
- $CH\perp C_1M$ по построению
- Проекцией наклонной $CH$ на плоскость $ABC$ служит прямая $CM$ ; при этом $AB\perp CM$ . По теореме о 3 перпендикулярах $AB\perp CH$
Получаем, что $CH\perp ABC_1,\angle CC_1H$ – искомый угол $\phi$

$C_1M\cdot CH=CC_1\cdot CM\space (S_{\Delta CC_1M})$ $CM=\frac{a\sqrt3}2,C_1M=\sqrt{CC_1^2+CM^2}=\sqrt{a^2+\frac{3a^2}4}=\frac{a\sqrt7}2$ $\frac{a\sqrt7}2\cdot CH=a\cdot\frac{a\sqrt3}2\to CH=a\sqrt{\frac37}$ $\sin\phi=\frac{CH}{CC_1}=\sqrt{\frac37}\to\phi=\arcsin\sqrt\frac37$

Задание №4345 ЕГЭ по Математике