Пусть

$y=|x-a^2|+|x+1|.$

Исследуем замену, то есть функцию $y=|x-a^2|+|x+1|$ . Для этого найдем нули подмодульных выражений:

$x-a^2=0$ $x=a^2$ $x+1=0$ $x=-1.$

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a$ . Заметим, что $a^2\ge 0$ , поэтому при любом значении параметра $a$ верно, что $-1<a^2$ .

У выражения $|x-a^2|+|x+1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей.

Если $x\le -1$ , то

$y=-x+a^2-x-1=-2x+a^2-1.$

Если $-1<x<a^2$ , то

$y=a^2-x+x+1=a^2+1.$

Если $a^2\le x$ , то

$y=x-a^2+x+1=2x-a^2+1.$

Построим эскиз графика этой функции.

Таким образом, если $y>a^2+1$ , то у уравнения $y=|x-a^2|+|x+1|$ ровно два решения. Если $y=a^2+1$ , то у уравнения $y=|x-a^2|+|x+1|$ бесконечно много решений. Если $y<a^2+1$ , то у уравнения $y=|x-a^2|+|x+1|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решения, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение

$y^2-7y+4a^2+4=0,$

которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее $a^2+1$ , и никакое решение уравнения не было бы равно $a^2+1$ .

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий: уравнение имеет два корня $y_1$ и $y_2$ такие, что $y_1<a^2+1<y_2$ , или уравнение имеет один корень $y_0>a^2+1$ .

Пусть

$f(y)=y^2-7y+4a^2+4.$

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед $y^2$ положителен, то функция $f$ задает параболу с ветвями вверх.

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение $a^2+1$ расположено между ними, равносильно условию

$f(a^2+1)<0.$

Получаем:

$(a^2+1)^2-7(a^2+1)+4a^2+4<0$ $a^4+2a^2+1-7a^2-7+4a^2+4<0$ $a^4-a^2-2<0$ $(a^2-2)(a^2+1)<0.$

Так как

$a^2+1>0$

для всех $a$ , то получаем

$a^2-2<0$ $(a-\sqrt2)(a+\sqrt2)<0.$

Отсюда

$a\in(-\sqrt2;\sqrt2).$

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать

$D=0.$

Получаем:

$49-4(4a^2+4)=0$ $49-16a^2-16=0$ $a^2=\frac{33}{16}$ $a=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}.$

Тогда единственный корень равен

$y_0=\frac{7}{2}.$

При

$a=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}$

имеем

$a^2+1=\frac{33}{16}+1=\frac{49}{16}.$

Сравним:

$\frac{7}{2}>\frac{49}{16}$ $7\cdot16>49\cdot2$ $112>98.$

Следовательно, оба значения

$a=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}$

подходят.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

$a\in(-\sqrt2;\sqrt2)\cup\left\{\pm\frac{\sqrt{33}}{4}\right\}.$

Ответ: $a\in(-\sqrt2;\sqrt2)\cup\left\{\pm\frac{\sqrt{33}}{4}\right\}$

Задания для подготовки к ЕГЭ Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет