Преобразуем второе уравнение:

$xy-1-x+y=0\Leftrightarrow x(y-1)+(y-1)=0\Leftrightarrow (x+1)(y-1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.$

Решениями системы являются пары вида $(-1;y)$ и $(x;1)$ , значит, система имеет четыре различных решения, если первое уравнение имеет два различных $y_1,y_2$ при $x=-1$ и два различных решения $x_1,x_2$ при $y=1$ . Пара решений $(-1;1)$ должна быть исключена, поскольку является решением обеих пар. Исключим соответствующее значение параметра, при котором есть решение $(-1;1)$ :

$2(a+1)-(a-1)+(a+1)+2=0\Rightarrow a=-3$

Подставим $x=-1$ в первое уравнение исходной системы:

$(a+1)(1+y^2)-(a-1)+(a+1)y+2=0\Leftrightarrow (a+1)y^2+(a+1)y+4=0$

2. Подставим $y=1$ в первое уравнение исходной системы:

$(a+1)(1+x^2)+(a-1)x+(a+1)+2=0\Leftrightarrow (a+1)x^2+x(a-1)+2a+4=0$

При $a=-1$ уравнение линейно, двух различных корней иметь не может. Для $a\ne-1$ :

$D=(a-1)^2-4(a+1)(2a+4)=-7a^2-26a-15$ $-7a^2-26a-15=0\Leftrightarrow 7a^2+26a+15=0\Leftrightarrow a=-3;-\frac57$

Уравнение имеет два различных корня $x_{1;2}$ при $a\in(-3;-1)\cup\left(-1;-\frac57\right)$

Таким образом, система имеет четыре решения при $\begin{cases}a\ne-3\\\left[\begin{matrix}a<-1\\a>15\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}-3<a<-1\\-1<a<-\frac57\end{matrix}\right.\end{cases}\Leftrightarrow a\in(-3;-1)$

Задания для подготовки к ЕГЭ Системы уравнений с параметром