Из второго уравнения получаем, что $a\ge0$ .

Если $a=0$ , исходная система может быть записана в виде $\begin{cases}y-x=0\\xy=0\end{cases}\Rightarrow x=y=0\Rightarrow a\ne0$
Определив, что $a>0$ , получаем $\begin{cases}\left(a(y-x)+2\right)(y-x+3a)=0\\|xy|=a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}xy=\pm a\\\left[\begin{matrix}y-x=-\frac2a\\y-x=-3a\end{matrix}\right.\end{cases}$

Изобразим полученные результаты на плоскости:

Анализируя графики, делаем вывод о том, что если две прямые совпадают, то шесть различных решений быть не может, следовательно, $\frac2a\ne3a\Rightarrow a\ne\sqrt{\frac23}$ – тогда гипербола $y=\frac{a}x$ пересекает каждую из прямых в двух точках, что дает 4 различных решений системы.
Для добавления еще двух решений необходимы пересечения $y=-\frac{a}x$ и прямых в двух различных точках, то есть нас интересует ситуация, когда гипербола дважды пересекала бы ту прямую, что дальше от начала координат, и не имела общих точек с прямой, что ближе к началу координат. Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений $x^2-\frac2ax+a=0$ и $x^2-3ax+a=0$ одно имело ровно два различных корня, а другое корней не имело, то есть дискриминанты должны быть противоположных знаков. Запишем это в следующем виде:

$\left(\frac4a^2-4a\right)(9a^2-4a)<0\Rightarrow (a^3-1)(9a-4)>0\Rightarrow \left[\begin{matrix}0<a<\frac49\\a>1\end{matrix}\right.$

Ответ: $a\in \left(0;\frac49\right)\cup(1;+\infin)$

Задания для подготовки к ЕГЭ Графика. Нахождение касательной к графику