Найдем ограничения по $(x, y)$ :

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 4 - y > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ y < 4 \end{cases}$

Перейдем к системе:

$\begin{cases} \left[ \begin{aligned} & y^2 - xy - 5y + 4 + x = 0 \quad (1) \\ & x + 2 = 0 \quad (2) \end{aligned} \right. \\[15pt] y < 4 \end{cases}$

Преобразуем (1) и решим кв. уравнение относительно $y$ :

$y^2 - y(x+5) + (x+4) = 0$

Дискриминант:

$D = (x+5)^2 - 4(x+4) = x^2 + 10x + 25 - 4x - 16 = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

Получаем корни:

$\left[ \begin{aligned} y &= x + 4 \\ y &= 1 \end{aligned} \right.$

Получим конечную систему:

$\begin{cases} \left[ \begin{aligned} & y = x + 4 \\ & y = 1 \\ & x = -2 \end{aligned} \right. \\[15pt] y = - x + (a + 2) \\ y < 4, \quad x \ge -2 \end{cases}$

Построим графики наших функций и рассмотрим прямую $y = -x +(a+2)$ как наклоную прямую $y = - x$ которая ходит вверх/вниз

Рассмотрим случаи пересечения нашей прямой с "критическими" точками

Будем подставлять значения в уравнение $a = x + y - 2$

Пересечение c $A(-2;1)$

$a = -2 + 1 - 2 = -3$

Пересечение c $(B-2;2)$

$a = -2 + 2 - 2 = -2$

Пересечение c $D(-2;4)$

$a = -2 + 4 - 2 = 0$

Пересечение c $C(0;4)$

$a = 4 - 2 = 2$

Исходя из анализа графика соберем конечный ответ

$\textbf{Ответ: } \text{при } a \in (-3; 2) \ \text{имеем хотя бы 2 решения}$

Задания для подготовки к ЕГЭ Графика. Базовые задачи