Условие $f_{min}(x) > -4$ равносильно тому, что неравенство $f(x) > -4$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$ . Перепишем его:

$|x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a| > 2|x| - x - 4$

Пусть $g(x) = |x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a| = |(x - a)(x - a - 1)|$ и $h(x) = 2|x| - x - 4$
Построим график $h(x)$ :

$h(x) = \begin{cases} x - 4, & x \ge 0 \\ -3x - 4, & x < 0 \end{cases}$

График $g(x)$ представляет собой «отраженную» параболу с корнями $a$ и $a+1.$ Чтобы $g(x) > h(x)$ для всех $x$ , парабола должна находиться выше «уголка» $h(x)$ . Критическими являются случаи касания параболы $y = x^2 - (2a+1)x + a^2 + a$ с ветвями уголка.

Касание левой ветви $y = -3x - 4$ :
Условие касания: $y' = -3 \implies 2x - (2a + 1) = -3 \implies x = a - 1$ .
Подставив в уравнение: $(a-1)^2 - (2a+1)(a-1) + a^2 + a = -3(a-1)-4$
После упрощения: $-3a - 1 = 2 \implies a = -1$

Касание правой ветви $y = x - 4$ :
Условие касания: $y' = 1 \implies 2x - (2a + 1) = 1 \implies x = a + 1$ .
Подставив в уравнение: $(a+1)^2 - (2a+1)(a+1) + a^2 + a = (a+1)-4$ .
После упрощения: $0 = a - 3 \implies a = 3$ .

Следовательно, условие выполняется при $a \in (-1; 3)$ .

$\textbf{Ответ: } (-1; 3)$

Задания для подготовки к ЕГЭ Функции. Исследование функции на возрастание/убывание