Если $a^{2}-4=0\ \Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} a=2,\\ a=-2, \end{array}\right.$ то уравнение является линейным.

При $a=-2$ получим $0\cdot x^{2}+0\cdot x+0=0\ \Leftrightarrow\ x\in\mathbb{R}$ .

При $a=2$ получим $24x+12=0\ \Leftrightarrow\ x=-\dfrac{1}{2}$ .

Если $a\ne 2$ и $a\ne -2$ , то

$(a-2)(a+2)x^{2}+6(a+2)x+3(a+2)=0 \ \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow\ (a+2)\bigl((a-2)x^{2}+6x+3\bigr)=0\ |:(a+2)\ne 0 \ \Leftrightarrow\ (a-2)x^{2}+6x+3=0.$ $D=36-12(a-2)=-12a+60$

Если $D<0$ , то есть $-12a+60<0\ \Leftrightarrow\ a>5$ , то уравнение не имеет решений.

Если $D=0$ , то есть $-12a+60=0\ \Leftrightarrow\ a=5$ , то $x=\dfrac{-6}{2(a-2)}=\dfrac{-6}{2\cdot 3}=-1$ .

Если $D>0$ , то есть $-12a+60>0\ \Leftrightarrow\ a<5$ , то:

$x_{1}=\dfrac{-6+\sqrt{60-12a}}{2(a-2)}=\dfrac{-3+\sqrt{15-3a}}{a-2};\qquad x_{2}=\dfrac{-3-\sqrt{15-3a}}{a-2}.$

ОТВЕТ: нет решений при $a\in(5;\infty)$ $;$ $x\in\mathbb{R}$ при $a=-2$ $;$ $x=-0{,}5$ при $a=2$ ; $x=-1$ при $a=5$ ; $x_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{15-3a}}{a-2}$ при $a\in(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;5)$ .

Задания для подготовки к ЕГЭ Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета