Вспомним, что подкоренное выражение всегда неотрицательное, а аргумент логарифма больше $0$ , тогда получаем ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} 1-6x\ge 0\\ 25x^2-a^2>0\\ 5x+a>0 \end{array} \right.$

Преобразуем уравнение:

$\sqrt{1-6x}\cdot \ln(25x^2-a^2)-\sqrt{1-6x}\cdot \ln(5x+a)=0$ $\sqrt{1-6x}\cdot\bigl(\ln(25x^2-a^2)-\ln(5x+a)\bigr)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$\begin{array}{c c} \sqrt{1-6x}=0; & \ln(25x^2-a^2)=\ln(5x+a)\\[6pt] 1-6x=0; & 25x^2-a^2=5x+a\\[6pt] 6x=1; & 25x^2-a^2-5x-a=0\\[6pt] x=\dfrac{1}{6}; & (5x-a)(5x+a)-(5x+a)=0\\[6pt] & (5x+a)(5x-a-1)=0\\[6pt] & 5x+a=0;\qquad 5x-a-1=0\\[6pt] & x=-\dfrac{a}{5};\qquad x=\dfrac{a+1}{5} \end{array}$

Заметим, что $x=-\dfrac{a}{5}$ не будет являться корнем уравнения, так как данный корень не удовлетворяет ОДЗ, в силу того, что $5x+a>0$ .

Получили два возможных кандидата $x_1=\dfrac{1}{6}$ , $x_2=\dfrac{a+1}{5}$ . Они будут являться корнями, когда будут удовлетворять ОДЗ. Так как по условию нужно найти значения параметра $a$ , при которых уравнение будет иметь один корень, то необходимо, чтобы один из кандидатов не удовлетворял ОДЗ, в то время как другой удовлетворяет.

Найдем значения параметра $a$ , при которых $x_1=\dfrac{1}{6}$ удовлетворяет ОДЗ, для этого подставляем значение в систему:

$\left\{ \begin{array}{l} 1-6\cdot\dfrac{1}{6}\ge 0\\[6pt] 25\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^2-a^2>0\\[8pt] 5\cdot\dfrac{1}{6}+a>0 \end{array} \right. \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left\{ \begin{array}{l} 0\ge 0\ \text{выполняется всегда}\\[6pt] \dfrac{25}{36}-a^2>0\\[10pt] a>-\dfrac{5}{6} \end{array} \right.$

Решим второе неравенство:

$\dfrac{25}{36}-a^2>0$ $a^2<\dfrac{25}{36}$

Получаем систему:

$\left\{ \begin{array}{l} a\in\left(-\dfrac{5}{6};\dfrac{5}{6}\right)\\[8pt] a>-\dfrac{5}{6} \end{array} \right.$

Тогда кандидат $x_1=\dfrac{1}{6}$ будет являться корнем уравнения при $a\in\left(-\dfrac{5}{6};\dfrac{5}{6}\right)$ .

Найдем значения параметра $a$ , при которых $x_2=\dfrac{a+1}{5}$ удовлетворяет ОДЗ, для этого подставляем значение в систему:

$\left\{ \begin{array}{l} 1-6\cdot\left(\dfrac{a+1}{5}\right)\ge 0\\[10pt] 25\cdot\left(\dfrac{a+1}{5}\right)^2-a^2>0\\[12pt] 5\cdot\left(\dfrac{a+1}{5}\right)+a>0 \end{array} \right.$

Решим каждое неравенство системы отдельно. Для первого неравенства получаем:

$1-\dfrac{6(a+1)}{5}\ge 0$ $5-6a-6\ge 0$ $-6a\ge 1$ $a\le -\dfrac{1}{6}$

Для второго неравенства получаем:

$25\cdot\dfrac{(a+1)^2}{25}-a^2>0$ $a^2+2a+1-a^2>0$ $2a+1>0$ $a>-\dfrac{1}{2}$

Для третьего неравенства получаем:

$a+1+a>0$ $2a>-1$ $a>-\dfrac{1}{2}$

Запишем решения неравенств в систему:

$\left\{ \begin{array}{l} a\le -\dfrac{1}{6}\\[8pt] a>-\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$

Тогда кандидат $x_2=\dfrac{a+1}{5}$ будет являться корнем уравнения при $a\in\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{6}\right]$ .

Изображаем на одной числовой оси $a$ множества значений параметра $a$ , при которых кандидаты являются корнями, считая, что кандидаты различны.

При значениях параметра $a$ под нижней «крышей» $x_1$ будет являться корнем уравнения. При значениях параметра $a$ под верхней «крышей» $x_2$ будет являться корнем уравнения. Но по условию необходимо, чтобы уравнение имело одно решение, значит, необходимы значения параметра $a$ над которыми будет одна «крыша», то есть при

$a\in\left(-\dfrac{5}{6};-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left(-\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right).$

Значение параметра $a=-\dfrac{1}{6}$ не подходит, так как при этом значении и $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения.

При этом значение параметра $a=-\dfrac{1}{2}$ подходит, так как при этом значении $x_2$ уже не является корнем уравнения.

Рассмотрим случай, когда кандидаты равны, для этого приравняем их:

$x_1=x_2$ $\dfrac{1}{6}=\dfrac{a+1}{5}$ $5=6a+6$ $6a=-1$ $a=-\dfrac{1}{6}$

Вернемся к тому месту, в котором значение параметра $a=-\dfrac{1}{6}$ не подошло в силу того, что уравнение имело два корня $x_1$ и $x_2$ (предположительно различных). Далее мы выяснили, что при $a=-\dfrac{1}{6}$ корни совпадают, то есть $x_1=x_2$ , значит, уравнение имеет единственный корень. Объединяя полученные значения параметра, получаем окончательно

$a\in\left(-\dfrac{5}{6};-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[-\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right).$

$\textbf{Ответ:}$

$a\in\left(-\dfrac{5}{6};-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[-\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right).$

Задания для подготовки к ЕГЭ Метод хорошего/плохого корня