Второе уравнение приводится к виду $(x - 1)(y - x) = 0$ , откуда $x = 1$ или $y = x.$
При a = 0 исходная система имеет одно решение.
При $a \ne 0$ при подстановке в первое уравнение системы $x = 1$ или $y = x$ получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1;1) не является решением исходной системы.
При x = 1 получаем:

$ay^{2} + 4ay + 7 - 3a = 0.$

Это квадратное уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

$16a^{2} + 12a^{2} - 28a > 0 \Leftrightarrow a^{2} - a > 0,$

откуда $a < 0;\; a > 1$ .

При $y = x$ получаем:

$2ax^{2} + 6x + 1 = 0.$

Это квадратное уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте:

$36 - 8a > 0,$

откуда, учитывая условие $a \ne 0$ , получаем $a < 0$ и $0 < a < \frac{9}{2}.$

Пара чисел (1;1) является решением исходной системы при $2a + 7 = 0$ , то есть при $a = -\frac{7}{2}.$

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при $a < -\frac{7}{2};\; -\frac{7}{2} < a < 0;\; 1 < a < \frac{9}{2}.$

Ответ: $a < -\frac{7}{2};\; -\frac{7}{2} < a < 0;\; 1 < a < \frac{9}{2}.$

Задания для подготовки к ЕГЭ Аналитическое решение систем