Задания для подготовки к ЕГЭ Расстояние между скрещивающимися прямыми

Вы­со­та ци­лин­дра равна 5, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния 10.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна пло­ща­ди его ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей па­рал­лель­но оси ци­лин­дра на рас­сто­я­нии 6 от неё.

В правильном тетраэдре \(SABC\) точка \(M\) – середина ребра \(AB\), а точка \(N\) расположена на ребре \(SC\) так, что \(SN:NC=3:1\).

a) Докажите, что плоскости \(SMC\) и \(ANB\) перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка \(MN\), если длина ребра \(AB\) равна 8.

В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки \(A\)​ и​ \(B\),​ на окружности верхнего основания отмечены точки​ \(B_1\) ​и \(C_1\) ​так, что \(BB_1\) ​является образующей, перпендикулярной основаниям, а \(AC_1\) ​пересекает ось цилиндра. 

а) Докажите, что прямые \(AB\) ​и \(B_1C_1\) ​перпендикулярны. 

б) \(AB=12,B_1C_1=9,BB_1=8\). ​Найдите расстояние между прямой \(AC_1\) ​и \(BB_1\).​

Задан куб​ \(ABCDA_1B_1C_1D_1\),​ все ребра которого равны 6. Найдите расстояние между прямыми​ \(A_1B\) ​и​\(AC_1\).​

Задан куб​ \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ​все ребра которого равны 1. Найдите расстояние между прямыми \(AB_1\) ​и​ \(BC_1\).​

Задан куб​ \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ​все ребра которого равны 6.

а) Докажите перпендикулярность прямых \(AC\) и \(BD_1\).​

б) Найдите расстояние между прямыми \(AC\) ​и \(BD_1\).​