Задания для подготовки к ЕГЭ Метод координат
\(ABCA'B'C'\) – правильная треугольная призма, сторона основания \(AB=6\), боковое ребро \(AA'=3\). На ребре \(AB\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK=1\). Точки \(M\) и \(L\) – середины ребер \(A'C'\) и \(B'C'\) соответственно. Параллельно прямой \(AC\) через точки \(K\) и \(L\) проведена плоскость \(\alpha\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(BM\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\).
\(ABCD\) – основание двух правильных четырехугольных пирамид \(EABCD\) и \(FABCD\), расположенных по разные стороны от основания. Точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Все ребра пирамид равны.
а) Докажите, что угол между \(AE\) и \(BF\) составляет 60 градусов.
б) Найдите угол между \(EM\) и \(FN\).
\(ABCA_1B_1C_1\) – правильная треугольная призма, все ребра которой равны 2. На ребре \(AA_1\) отмечена середина \(M\).
а) Докажите перпендикулярность прямых \(MB\) и \(B_1C\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(MB\) и \(B_1C\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребра которого равны 1. Точка \(M\) – точка, отмеченная на продолжении \(A_1C_1\) за точку \(C_1\). Причем \(A_1C_1=C_1M\). Точка \(N\) – точка, отмеченная на продолжении \(B_1C\) за точку \(C\), причем\(B_1C=CN\).
а) Докажите, что \(MN=MB_1\).
б) Найдите расстояние между \(B_1C_1\) и \(MN\).
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(A_1D_1\) и \(BB_1\). Найдите угол между прямой \(MN\) и диагональю \(BD_1\).
В единичном кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(BDA_1\).
В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) с вершиной \(S\) высота равна диагонали основания. Точка \(F\) лежит на середине ребра \(SA\). Найдите квадрат тангенса между прямыми \(SD\) и \(BF\).
Основанием пирамиды \(SABC\) является равносторонний треугольник \(ABC\), длина стороны которого равна \(4\sqrt2\). Боковое ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку \(S\) и середину ребра \(BC\), а другая проходит через точку \(C\) и середину ребра \(AB\).
Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \(AD=6, AB=3, AA_1=2\). Найти угол между прямой \(AC_1\) и прямой, проходящей через середины ребер \(AA_1\) и \(B_1C_1\).
Напишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки \(M(3;-1;2), N(4;1;-1),K(2;0;1)\).
