Задания для подготовки к ЕГЭ Вписанная и вневписанная окружности

Тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD и вы­со­той BH впи­са­на в окруж­ность. Пря­мая BH вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AC и AK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пря­мые CK и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке N. Най­ди­те AD, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 12, \(\angle BAC=30 ^\circ\), а пло­щадь четырёхуголь­ни­ка BCNH в 8 раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка KNH.

Квадрат ​\(ABCD\) является фигурой, в которую вписана окружность с центром в точке \(O\). ​К данной окружности проведена касательная, пересекающая стороны \(AB\) и \(AD\) ​в точках​ \(M\) и \(N\) соответственно.

а) Докажите, что сторона квадрата равна периметру треугольника \(AMN\).​

б) Известно, что \(AM:MB=1:3\). ​Прямая​ \(MN\) ​пересекает \(CD\) ​в точке \(P\). ​Найдите, в каком отношении делит сторону \(BC\) ​прямая \(PO\).​

О треугольнике \(ABC\) ​известно, что \(\angle ABC=60°\).​ Окружность с центром в точке \(O\) ​вписана в треугольник так, что касается стороны \(AC\) ​в точке \(M\).​

а) Докажите, что отрезок \(BM\)​ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Известно, что отрезок ​\(BM\) ​в ​\(\frac{11}4\) ​раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности. Найдите \(\sin\angle BMC\).​

Дан остроугольный треугольник \(ABC\) с проведенными высотами \(AA'\) и \(CC'\).

а) Докажите, что \(\angle A'AC=\angle A'C'C\).

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), если известно, что \(A'C'=12,\angle ABC=30°\).