Задания для подготовки к ЕГЭ Теоремы Менелая и Чевы
Высоты \(BH\) и \(DN\) параллелограмма \(ABCD\), проведённые к его сторонам \(CD\) и \(BC\) соответственно, пересекаются в точке \(M\). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(CN:NB=CH:HD=1:2\).
а) Докажите, что точки \(A\), \(O\) и \(M\) лежат на одной прямой.
б) Найдите длину диагонали \(AC\), если известно, что \(DN=4\).
В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(BE\) и медиана \(AD\) перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную \(84\). Найдите стороны треугольника \(ABC\).
В треугольнике \(ABC\) отмечены точки \(A', B', C'\) на сторонах \(BC, AC\) и \(AB\) соответственно. Докажите, что прямые \(AA', BB'\) и \(CC'\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство
\[\dfrac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC}\cdot\dfrac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}\cdot\dfrac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA}=1.\]Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Через точку \(P\), лежащую на медиане \(CC_1\) треугольника \(ABC\), проведены прямые \(AA_1\) и \(BB_1\). При этом точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на сторонах \(BC\) и \(CA\) соответственно. Докажите, что \(A_1B_1 \parallel AB\).
Точки \(M\) и \(N\) расположены соответственно на сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), причём \(AM:MB=1:2\), \(AN:NC=3:2\). Прямая \(MN\) пересекает продолжение стороны \(BC\) в точке \(F\). Найдите отношение \(CF:BC\). Ответ дайте в виде десятичной дроби.
