$\underline{\text{Синусная теорема Чевы.}}$

В $\triangle ABC$ чевианы $AA', BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке в том и только в том случае, если выполнено равенство

$\dfrac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC}\cdot\dfrac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}\cdot\dfrac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA}=1$

Пусть $\angle BAA'=\angle1, \angle A'AC=\angle2, \angle ACC'=\angle3, \angle C'CB=\angle4, \angle CBB'=\angle5, \angle B'BA=\angle6.$

Пусть также $AB=c, BC=a, AC=b.$

Тогда нужно доказать, что $AA', BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

$\dfrac{\sin\angle1}{\sin\angle2}\cdot\dfrac{\sin\angle3}{\sin\angle4}\cdot\dfrac{\sin\angle5}{\sin\angle6}=1$

Будем пользоваться теоремой синусов для треугольника в следующем виде: две стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

1) Для $\triangle ACC'$ :

$\dfrac{AC'}{CC'}=\dfrac{\sin\angle3}{\sin\angle A}\qquad (1)$

Для $\triangle BCC'$ :

$\dfrac{BC'}{CC'}=\dfrac{\sin\angle4}{\sin\angle B}\qquad (2)$

Разделим $(1)$ на $(2)$ :

$\dfrac{AC'}{C'B}=\dfrac{\sin\angle3}{\sin\angle4}\cdot\dfrac{\sin\angle B}{\sin\angle A}\;\Rightarrow\;\dfrac{AC'}{C'B}=\dfrac{\sin\angle3}{\sin\angle4}\cdot\dfrac{b}{a}\qquad (I)$

2) Для $\triangle BAA'$ :

$\dfrac{BA'}{AA'}=\dfrac{\sin\angle1}{\sin\angle B}\qquad (3)$

Для $\triangle CAA'$ :

$\dfrac{CA'}{AA'}=\dfrac{\sin\angle2}{\sin\angle C}\qquad (4)$

Разделим $(3)$ на $(4)$ :

$\dfrac{BA'}{A'C}=\dfrac{\sin\angle1}{\sin\angle2}\cdot\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle B}\;\Rightarrow\;\dfrac{BA'}{A'C}=\dfrac{\sin\angle1}{\sin\angle2}\cdot\dfrac{c}{b}\qquad (II)$

3) Для $\triangle CBB'$ :

$\dfrac{CB'}{BB'}=\dfrac{\sin\angle5}{\sin\angle C}\qquad (5)$

Для $\triangle ABB'$ :

$\dfrac{AB'}{BB'}=\dfrac{\sin\angle6}{\sin\angle A}\qquad (6)$

Разделим $(5)$ на $(6)$ :

$\dfrac{CB'}{B'A}=\dfrac{\sin\angle5}{\sin\angle6}\cdot\dfrac{\sin\angle A}{\sin\angle C}\;\Rightarrow\;\dfrac{CB'}{B'A}=\dfrac{\sin\angle5}{\sin\angle6}\cdot\dfrac{a}{c}\qquad (III)$

4) Перемножим равенства $(I), (II)$ и $(III)$ :

$\dfrac{AC'}{C'B}\cdot\dfrac{BA'}{A'C}\cdot\dfrac{CB'}{B'A}=\dfrac{\sin\angle3}{\sin\angle4}\cdot\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{\sin\angle1}{\sin\angle2}\cdot\dfrac{c}{b}\cdot\dfrac{\sin\angle5}{\sin\angle6}\cdot\dfrac{a}{c}$

$\dfrac{AC'}{C'B}\cdot\dfrac{BA'}{A'C}\cdot\dfrac{CB'}{B'A}=\dfrac{\sin\angle1}{\sin\angle2}\cdot\dfrac{\sin\angle3}{\sin\angle4}\cdot\dfrac{\sin\angle5}{\sin\angle6}\qquad (IV)$

5) Теорема Чевы гласит: чевианы $AA', BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда верно равенство

$\dfrac{AC'}{C'B}\cdot\dfrac{BA'}{A'C}\cdot\dfrac{CB'}{B'A}=1$

Из полученного равенства $(IV)$ следует, что

$\dfrac{AC'}{C'B}\cdot\dfrac{BA'}{A'C}\cdot\dfrac{CB'}{B'A}=1\;\Leftrightarrow\;\dfrac{\sin\angle1}{\sin\angle2}\cdot\dfrac{\sin\angle3}{\sin\angle4}\cdot\dfrac{\sin\angle5}{\sin\angle6}=1$

Таким образом, теорема доказана.

Задания для подготовки к ЕГЭ Теоремы Менелая и Чевы